Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Quotiënt	Φ
1 : 1	1
2 : 1	2
3 : 2	1,5
5 : 3	1,67
8 : 5	1,6
13 : 8	1.62500
89 : 55	1,6181818
610 : 377	1,61537135
4181 : 2584	1,61803405
28657 : 17711	1,61803399
196418 : 121393	1,618033989

Rekenkunde ( 3 )

In Rekenkunde ( 1 ) en ( 2 ) zijn Optellen, Aftrekken, Vermenigvuldigen en Delen behandeld. In Rekenkunde ( 3 ) worden de bewerkingen Machtsverheffen en Worteltrekken besproken.

Machtsverheffen

Bij het machtsverheffen wordt een getal één, twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 1

Als het getal 5 een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus: 5 • 5 • 5, dan wordt dit genoteerd als: 5 3. Deze vorm wordt uitgesproken als: 5 tot de derde. Het cijfer 3 – de exponent - in de vorm 53 geeft aan hoeveel keer het getal 5 – het grondtal – met zichzelf vermenigvuldigd moet worden. In dit geval is de uitkomst dus: 5 • 5 • 5 = 125

Optellen en aftrekken van machten

Als machten moeten worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken, dan moeten de machten eerst worden uitgewerkt om daarna verder te kunnen worden bewerkt.

• Voorbeeld 2

3 3 + 3 2 = 3 • 3 • 3 + 3 • 3 = 36

Vermenigvuldigen en delen van machten

Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of worden afgetrokken.

• Voorbeeld 3

5 3• 5 2 = 5 3 + 2 = 5 5 = 3125

en ook:

5 4: 5 3 = 5 4 - 1 = 5 3 = 125

Een heel bijzondere deling van machten is de volgende:

5 1: 5 1 = 5 1 - 1 = 5 0 = 1

Voor elk ander getal dan 5 dus:

x 1: x 1 = x 1 - 1 = x 0 = 1

Voor alle getallen x met exponent n dus:

x n: x n = x n - n = x 0 = 1

Machtsverheffen van machten

Als machten zelf tot een macht verheven moeten worden, dan worden de exponenten met elkaar vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 4

( 8 3 ) 2 = 8 3• 8 3 = 8 6 = 262144

Worteltrekken

Bij het machtsverheffen wordt een getal met zichzelf vermenigvuldigd. Bij het worteltrekken gebeurt deze handeling in omgekeerde volgorde.

• Voorbeeld 5

Als 5 2 = 25, dan wordt door worteltrekken het oorspronkelijke grondtal zonder exponent verkregen, namelijk 5. Het getal 5 is de wortel uit 25. Dit wordt geschreven als √ 25.

Aangezien dit de tweedemachtswortel of de vierkantswortel uit 25 is, zou eigenlijk boven het wortelteken een 2 gezet moet worden. Dit wordt in de praktijk echter nooit uitgevoerd. Zou het een hogere machtswortel betreffen, dan moet dit wel gebeuren.
Deze wortelvormen zullen hier niet worden behandeld.

Wortels uit grote getallen

• Voorbeeld 6

Uit: 7 2 = 49 volgt: √ 49 = 7

Dit is betrekkelijk eenvoudig en geeft geen moeilijkheden. Als de getallen niet al te groot zijn, is het nog goed doenlijk de wortel uit dat getal te trekken. De vorm:

√ 625 = 25

levert voor de meeste mensen nog geen problemen op.
Anders wordt het, als de wortel uit een groot getal als 6561 moet worden getrokken. Hier moet dan een bijzondere manier worden toegepast om achter de uitkomst te komen.
Om de vorm √ 6561 op te lossen, wordt als volgt te werk gegaan:

• Verdeel het getal vanaf de rechterkant in groepen van 2 cijfers, dus: 65 | 61
• Zoek het grootste getal, dat in het kwadraat zó dicht mogelijk bij het linker getal ligt,dus: 8 • 8 = 64. De 8 wordt als eerste getal van de uitkomst genoteerd.
• De verschil tussen 65 en 64 - de rest dus - is 1
• Plaats die 1 vóór de tweede groep cijfers, dus: 161
• Tel hierna de cijfers van de eerste bewerking op, dus: 8 + 8 = 16
• Zoek bij dit getal het cijfer - in dit geval 1 - dat vermenigvuldigd met zichzelf - zó dicht mogelijk bij het getal 161 ligt.
• Het gevonden cijfer - de 1 dus - wordt als tweede getal van de uitkomst genoteerd
• De uitkomst van de berekening blijkt te zijn: √ 6561 = 81

65 | 61 | 81 ------------------------ 8 • 8 = 64 -------------------------- 1 161 8 + 8 = 16 161 • 1 = 161 --------------------------- 0

Bij nog grotere getallen, gaat de berekening nog even door.

• Voorbeeld 7

√ 4338889:

• Getal verdelen in groepen van twee cijfers, dus 4 | 33 | 88 | 89
• De verdere bewerkingen als in Voorbeeld 6
• Bij de 2e bewerking aangekomen, blijkt het getal 33 kleiner te zijn, dan de kleinst mogelijke vermenigvuldiging ( 41 • 1 ). Dit gaat dus 0 keer. Om verder te kunnen, moet hiervoor de 0 achter de 4 worden geplaatst en het getal 88 naar beneden gehaald.
• De uitkomst van de berekening is dus: √ 4338889 = 2083

4 | 33 | 88 | 89 | 2083 ------------------------------------- 2 • 2 = 4 ---------------------------- 3388 2 + 2 = 4 408 • 8 = 3264 ------------------------------------ 124 12489 408 + 8 = 416 4163 • 3 = 12489 ------------------------------------ 0

Bij de behandeling van de breuken en tiendelige breuken zullen ook wortels getrokken worden uit getallen die geen kwadraat van een geheel getal vormen, bijvoorbeeld √ 51.

Vermenigvuldigen van wortels

Bij het vermenigvuldigen van wortels wordt soms een vereenvoudigde schrijfwijze toegepast.

• Voorbeeld 8

√ 9 • √ 36 = √ ( 9 • 36 ) = √ 324 = 18

Rekenkunde ( 4 )

In Rekenkunde ( 1 ), ( 2 ) en ( 3 ) zijn de diverse basisbegrippen van de Rekenkunde behandeld.
Bij de diverse bewerkingen die daar aan de orde kwamen, moet - als ze in combinatie met elkaar optreden - altijd een bepaalde volgorde worden aangehouden. Wordt dit niet gedaan, dan ontstaan fouten in de bewerkingen.
Verder wordt in dit artikel aandacht besteed aan Decimale getallen en aan Breuken. Ook de bijbehorende bewerkingen -

Volgorde van de bewerkingen

De volgorde van de diverse bewerkingen - zoals in Rekenkunde ( 1 ), ( 2 ) en ( 3 ) behandeld - moet altijd als volgt verlopen:

Machtsverheffen Vermenigvuldigen Delen Worteltrekken Optellen of Aftrekken

• Soms wordt om deze volgorde te onthouden, het volgende 'ezelsbruggetje' toegepast:
• (M) ijnheer (V) an (D) alen (W) acht (O) p (A) ntwoord

• Voorbeeld 1

12 3 • 3 : 9 - √ 36 + 5 - 3 = Machtsverheffen: 17280 • 3 : 9 - √ 36 + 5 - 3 = Vermenigvuldigen: 51840 : 9 - √ 36 + 5 - 3 = Delen: 576 - √ 36 + 5 - 3 = Worteltrekken: 576 - 6 + 5 -3 = Optellen : 576 + 5 - 9 = Aftrekken: 581 - 9 = 572

Hulpmiddelen

Als van de normale volgorde moet worden afgeweken, dan worden soms hulpmiddelen gebruikt, en wel:

Haakjes: ( ..... ) Accoladen: { ..... } Rechte haakjes: [ ..... ]

• Bij gebruik van deze hulpmiddelen wordt eerst uitegerekend wat binnen de haakjes staat. Daarna wordt vastgesteld, wat binnen de accoladen staat, en als laatste wordt nagegaan wat binnen de rechte haakjes staat.
• Nadat de berekeningen zijn gemaakt, worden achtereenvolgens de haakjes, de accoladen en de rechte haakjes weggelaten.
• Als de hulpmiddelen zijn verdwenen, wordt de berekening in de normale volgorde voortgezet.
• Voorbeeld 2

[ { ( 28 - 16 ) • 3 - ( 12 + 4 ) : 4 } • √ 25 - 10 ]:{( 4 + 3 )• 2 3 - 6 } = [ { 12 • 3 - 16 : 4 } • √ 25 - 10 ] : { 7 • 2 3 - 6 } = [ { 36 - 4 } • √ 25 - 10 ] : { 7 • 8 - 6 = [ 32 • √ 25 - 10 ] : { 56 - 6 } = [ 32 • 5 - 10 ] : { 50 } = [ 160 - 10 ] : 50 = 150 : 50 = 3

Decimale getallen

Decimale getallen zijn getallen waar een komma in voorkomt.

• Voorbeeld 3

45,67 356,02 0,76

Optellen en aftrekken van decimale getallen

Als deze drie getallen met elkaar moeten worden opgeteld, dan wordt gehandeld zoals in Rekenkunde ( 1 ) werd uitgelegd, door de getallen met de komma's onder elkaar te zetten, en verder te handelen als daar omschreven, aldus:

• Voorbeeld 4

45,67 356,02 0,76 --------- 402,45

Het aftrekken van decimale getallen gaat als volgt:

• Voorbeeld 5

85,32 36,02 --------- 49,30

In de uitkomst mag de 0 achter de 3 worden weggelaten, zodat dus 85,32 - 36,02 = 49,3

Vermenigvuldigen en delen van decimale getallen

Als decimale getallen met elkaar moeten worden vermenigvuldigd, dan wordt gehandeld zoals in Rekenkunde ( 2 ) werd uitgelegd, door de getallen met de komma's onder elkaar te zetten, en verder te handelen als daar omschreven.

• Voorbeeld 6

• 67,123 • 4,25

67,123: 3 cijfers achter de komma 4,25: 2 cijfers achter de komma --------------------- 335615 134246 268492 ------------- 285,27275: 3 + 2 = 5 cijfers achter de komma

Bij het vermenigvuldigen worden de te vermenigvuldigen getallen onder elkaar geplaatst en verder bewerkt, waarbij het kleinste getal onder wordt gezet. Als de uitkomst van een bewerking 10 is of groter is dan 10, dan moet het linker deel hiervan worden onthouden en bij de volgende bewerking worden toegevoegd.

Delen

Bij decimale getallen gebeurt het delen op dezelfde manier als in Rekenkunde ( 1 ) werd behandeld. Alleen het plaatsen van de komma vraagt extra aandacht.

• Voorbeeld 7

Niet alle delingen zijn zó eenvoudig op te lossen, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt:

• Voorbeeld 3

90,9 : 3,03

Dit wordt aldus genoteerd:

303 | 30 ------------ 9090 909 ------- 0 0 • 0 = 0 ------- 91 91 ------- 0

Eerst wordt gekeken, welk veelvoud van 303 het dichts bij 909 komt. Dit blijkt 909 = 3 • 303 te zijn. Dit getal wordt onder 34 geplaatst en afgetrokken, zodat de rest 8 is die moet worden onthouden. De 2 van de uitkomst wordt met streep naast 13 geplaatst.
Dan wordt de 7 naar beneden gehaald en achter de 8 geplaatst waardoor dit 87 wordt. Dit getal kan worden gedeeld door 78 = 6 • 13, waarbij een rest van 9 overblijft. Het getal 6 wordt boven bijgeschreven. Als laatste wordt de 1 naar beneden gehaald en achter de 9 geplaatst, waardoor dit 91 wordt. Het getal 91 = 7 • 13, zodat er geen rest overblijft. Het blijkt dus, dat:

3471 : 13 = 267