Gebruiker:O/Homografische functie

Definitie

De functie f(x) is een homografische functie:

a.s.a.

• <math>f(x)={(ax+b)\over (cx+d)}</math> met c ≠ 0

Bespreking

Bestand:Homografische Functie & asymptoten.png

Homografische Functie voorzien van horizontale en verticale asymptoot.

• snijpunten x-as

<math> f(x)=0 </math> ↔ <math> {(ax+b)\over (cx+d)}= 0</math> ↔ <math> {n(x) \over t(x)} = 0 \rightarrow\ n(x)=0 \rightarrow\ ax+b =0</math> ↔ <math> x_s = {-b \over a}</math>

• snijpunten y-as

<math>x=0 \rightarrow\ f(0)={(a0+b)\over (c0+d)}={b \over d} \rightarrow\ y_s={b \over d}</math>

• Horizontale asymptoot

<math>\lim_{n\rightarrow \infty}f(x)={(ax+b)\over (cx+d)}={a\over c} </math>

• Verticale asymptoot

Bepaal de nulwaarden van de noemer:

<math> cx+d = 0 </math> ↔ <math> x_1 = {-d\over c}</math>

Wat is de limiet voor <math> f(x) </math> met <math> x \rightarrow\ x_1 </math>?

<math>\lim_{x \rightarrow x_1} f(x)=\ / \ </math>

Bepaal de linker en rechter limiet van <math> f(x) </math>:

<math>\lim_{x \ < x_1} f(x)=\pm\infty \,\mbox{ en } \lim_{x \ >x_1} f(x)=\pm\infty</math>

→ hieruit volgt dat: <math> x={-d\over c}</math> een verticale asymptoot is van de functie <math>f(x)</math>.

• Eerste afgeleide

<math>f'(x)={(ad-bc)\over (cx+d)^2}</math>

• tweede afgeleide

<math>f(x)={-2c(ad-bc)\over (cx+d)^3}</math>