Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok
Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)
Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)
- sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5
- Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:
- AC = √ ( AB ) 2 – ( BC ) 2 = √ ( AB ) 2 – ( ½ AB ) 2 = √ ¾ (AB) 2 = ½ AB√3
- Hieruit volgt dan :
- cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )
- en :
- tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577
Rondom de cirkel ( 2 )
Goniometrie
De goniometrie*) en met name de goniometrische verhoudingen worden toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de wiskunde, de elektrotechniek en andere disciplines wiskundige berekeningen te kunnen maken.
In de verhandeling worden de belangrijkste goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.
*) Goniometrie = hoekmeting. Gonio is afgeleid van het Griekse woord Gonia, wat hoek betekent.
Basisbegrippen
De afgebeelde rechthoekige driehoek ABC bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook in andere disciplines toegepast.
De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de sinus van de hoek α meestal afgekort tot sin α.
De sinus van hoek α wordt als volgt omschreven:
- sin α = overliggende rechthoekszijde / schuine zijde = BC / AB.
De tweede goniometrische verhouding – cosinus α ( cos α ) - wordt als volgt omschreven:
- cos α = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde = AC / AB.
Er zijn nog twee goniometrische verhoudingen aan te wijzen, namelijk tangens α ( tan α ) en cotangens α ( cotan α ). Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.
- tan α = overliggende rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde = BC / AC
- en:
- cotan α = aanliggende rechthoekszijde / overliggende rechthoekszijde = AC / BC.
Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche verhoudingen bekend, namelijk secans α ( sec α ) en cosecans α ( cosec α ) .
Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld
Rekenvoorbeelden ( 1 )
- Rekenvoorbeeld 1
- In de eerder afgebeelde driehoek ABC hebben de zijden de volgende afmetingen:
- AB = 5 cm
- AC = 4 cm
- BC = 3 cm
- Hieruit volgt :
- sin α = BC / AB = 0,6
- cos α = AC / AB = 0,8
- tg α = BC / AC = 0,75
- cotg α = AC / BC = 1,333
- In dit voorbeeld werd nog met afmetingen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen deze worden weggelaten, zodat een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van de cotg niet meer uitgevoerd.
- Rekenvoorbeeld 2
- De driehoek ABC in bijgaande afbeelding – als helft van een gelijkzijdige driehoek - heeft de volgende hoeken :
- hoek α = 30 0
- hoek γ = 90 0
- Aangezien in een driehoek de som van de hoeken 180 0bedraagt, volgt hieruit, dat hoek β = 60 0.
- Gesteld werd, dat de driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, zodat zijde BC = ½ AB.
| Hoek | Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|---|
| 00 | 0 | 1 | 0 |
| 300 | ½ | ½√3 | ½√3 |
| 450 | ½ √2 | ½ √2 | 1 |
| 600 | ½√3 | ½ | √3 |
| 900 | 1 | 0 | ± ∞ |
Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken
Verdere afleidingen
Op dezelfde wijze als in Rekenvoorbeeld 2, kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van hoek α = 60 0, hoek α = 45 0, hoek α = 90 0 en 0 0. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in Tabel I.
Het zal duidelijk zijn, dat men ooit van alle hoeken van 0 0 tot 90 0de goniometrische verhoudingen heeft berekend en daar tabellen van heeft gemaakt. Deze staan in alle handboeken over goniometrie vermeld. In deze tabellen zijn meestal ook de verhoudingen vermeld van de hoeken die met een hoek van 10 minuten opklimmen. Het is namelijk zó, dat 1 0 kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.
- 1 0 = 60 minuten ( 60' )
en
- 1' = 60 seconden ( 60" )
Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegegeven. Met een ' trucje ' lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:
- Gevraagd de sinus van hoek α = 32 018'44".
Dit levert op :
- sin α = sin 32 0 + 18 + [ ( 44 ) / 60 ) / 60 ] = sin 32,3122 0 = 0,5345
Sinus- en cosinuslijn
In bijgaande afbeeldingen komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle waarden van sinus α en cosinus α in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn worden gevormd.
Begonnen wordt in het 1e kwadrant bij een hoek α = 0 0, waarna de straal van de cirkel verder draait en onderweg de getekende hoek α = 60 0 ( sin α =½√3) passeert. Merk op, dat bij hoek α = 90 0 de sinuslijn maximaal is ( = 1 ).
Verder valt op, dat in het 2e kwadrant - tussen hoek α = 90 0 en 180 0 - sinus α nog steeds positief is. Pas in het 3e en 4e kwadrant krijgt sinus α een - teken.
De cosinuslijn wordt op soortgelijke wijze opgebouwd als de sinuslijn.
Begonnen wordt in het 1e kwadrant bij een hoek α = 0 0 waarbij dus cos α = 1, waarna de straal van de cirkel verder draait. Merk op, dat bij hoek α = 90 0 de cosinuslijn minimaal is ( = 0 ).
Verder valt op, dat in het 2e en 3e kwadrant - tussen hoek α = 90 0 en 270 0 - cosinus α negatief is. Pas in het 4e kwadrant, dus tussen hoek α = 270 0 en 360 0, krijgt cosinus α weer een + teken.
Om een en ander nog te verduidelijken en om te zien hoe de hoeken in de verschillende kwadranten worden berekend,
dient Tabel II.
| Hoek | Sinus | Cosinus | Kwadrant |
|---|---|---|---|
| 900 - α | cos α | sin α | 1 |
| 900 + α | cos α | - sin α | 2 |
| 1800 - α | sin α | - cos α | 2 |
| 1800 + α | - sin α | - cos α | 3 |
| 2700 - α | - cos α | - sin α | 3 |
| 2700 + α | - cos α | sin α | 4 |
| 3600 - α | - sin α | cos α | 4 |
| 3600 + α | sin α | cos α | 1 |
Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90 0tot 360 0
in de vier kwadranten
Rekenvoorbeelden ( 2 )
- Rekenvoorbeeld 3
- De sinus van een hoek van 1200 wordt als volgt berekend:
- Sinus 1200 = sin 900+ α = cos α = cos 300 = ½√3
- Rekenvoorbeeld 4
- De cosinus van een hoek van 1200 wordt als volgt berekend:
- Cosinus 1200 = cos 900+ α = - sin α = - sin 300 = - ½
Trigonometrie
Tot nu toe werden alle beschouwingen over de hoeken en de afleidingen daarvan gehouden vanuit rechthoekige driehoeken. Alle afleidingen die hiervoor gelden, zijn ook van toepassing op niet-rechthoekige driehoeken -= ook wel scherhoekige driehoeekn genoemd - , zoals de afgebeelde driehoek ABC.
Met trigonometrie is men in staat allerlei berekeningen in niet-rechthoekige driehoeken uit te voeren.
In de afgebeelde driehoek ABC zijn ook de rechthoekige driehoeken ABD en CBD te onderscheiden. Voor driehoek ABD geldt:
- BD = b sin α
en voor driehoek CBD geldt:
- BD = a sin
Ook de hoeken van 90 0 oplopend tot 360 0, kunnen worden bepaald. In Tabel II is dit op overzichtelijke wijze voor sin α en cos α uitgevoerd.
Deze gegevens zijn ondergebracht in Tabel II, waarin de + of - tekens voor de vier vier kwadranten zijn vermeld.
| Hoek | Sinus | Cosinus |
|---|---|---|
| 900 - α | cos α | sin α |
| 900 + α | cos α | - sin α |
| 1800 - α | sin α | - cos α |
| 1800 + α | - sin α | - cos α |
| 2700 - α | - cos α | - sin α |
| 2700 + α | - cos α | sin α |
| 3600 - α | - sin α | cos α |
| 3600 + α | sin α | cos α |