Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok
Voorlopig neem ik deze pagina om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)
Deze afbeelding van Johan Wolfgang von Goethe is afkomstig van Wikipedia en dient als illustratie bij een artikel over Goethe. 13 feb 2009 13:26 (UTC)wil deze afbeelding gebruiken in zijn artikel: De Tovernaarsleerling. A1)
Rondom de cirkel
Dante Alighieri heeft ooit geschreven: Lo cerchio è perfettisima figura, ofwel: De cirkel is de meest volmaakte figuur.
Als we in het woordenboek bij het woord cirkel uitkomen, dan zien we daar staan: gesloten kromme lijn, waarvan alle punten op eenzelfde afstand van één punt, het middelpunt liggen. Dat laat dus weinig speelruimte over. Bij het woord volmaakt zien we vervolgens staan: voortreffelijk, uitmuntend, voltooid, volledig, volkomen.
Al is de cirkel volgens Dante dan het meest volmaakte figuur, hij kent toch ook in zekere zin zijn beperkingen. Anders dan rond kan een cirkel namelijk niet zijn, anders houdt deze figuur op een cirkel te zijn. Een cirkel kan wel oneindig klein of oneindig groot zijn maar zal voor praktische doeleinden meestal hier ergens tussenin liggen, waaruit dan weer blijkt, dat je ook bij de cirkel grenzen moet stellen.
Het bijzondere bij een cirkel is, dat er bij berekeningen een bijzonder getal aan te pas moet komen, namelijk de wiskundige constante π. Deze constante is een getal - zonder begrenzing - intrigreert al duizenden jaren menige wiskundige.
Op veel plaatsen in de wiskunde, de natuurkunde en in de techniek is het getal π onmisbaar.
Benadering van de constante π
Om enig inzicht in het getal π te krijgen, is een uitstapje naar de eenvoudige wiskunde nodig. Op de eerste afbeelding is een willekeurige cirkel weergegeven met de straal r. Eén zijde a van een gelijkzijdige driehoek die precies in een cirkel past, heeft een lengte van r√3, zodat dus de drie zijden van de driehoek samen ( = 3 . a ) 3√3r groot zijn ofwel : de omtrek = 5,196r. Je zou ook voor het gemak kunnen schrijven dat de omtrek = 5,196r/2 = 2,598d, aangezien d ( = 2r ) de middellijn van de cirkel is. Het blijkt namelijk, dat met d werken wat hanteerbaarder is dan met r.
Als je een vierkant neemt en deze in een cirkel plaatst, dan geldt, dat één zijde ervan = r√2, zodat de vier zijden van het vierkant samen ( de omtrek dus ) 4r√2r zijn of in d uitgedrukt: 2,828d. Bij een regelmatige vijfhoek blijkt de omtrek hiervan 2,94d te zijn. Ga je nog verder met regelmatige veelhoeken als een zeshoek, een achthoek, een tienhoek, een twaalfhoek, een vierentwintighoek, een zesendertighoek, een tweeënzeven-tighoek, een driehonderdzestighoek, een zevenhonderdtwintighoek, tot een zesendertighonderdhoek, dan blijkt, dat naarmate het aantal hoeken groter wordt, de wiskundige constante steeds meer nadert tot het getal 3,14159.
- Voor het gemak is men deze wiskundige constante π gaan noemen.
In de tabel is bij een aantal regelmatige veelhoeken nagegaan hoe het met die constante staat. Algemeen geldt hierbij, dat de omtrek = n . a, waarbij n het aantal zijden van de veelhoek is.
| Regelmatige veelhoek | Omtrek (n . a) | Wiskundige constante |
|---|---|---|
| Gelijkzijdige driehoek | 2,598d | 2,598 |
| Vierkant | 2,828d | 2,828 |
| Vijfhoek | 2,94d | 2,94 |
| Zeshoek | 3,0d | 3,0 |
| Achthoek | 3,06d | 3,06 |
| Tienhoek | 3,09d | 3,09 |
| Twaalfhoek | 3,108d | 3,108 |
| Vierentwintighoek | 3,1326d | 3,1326 |
| Zesendertighoek | 3,1376d | 3,1376 |
| Tweeënzeventighoek | 3,1406d | 3,1406……. |
| Driehonderzestighoek | 3,14155d | 3,14155……. |
| Zevenhonderdtwintighoek | 3,14158d | 3,14158……… |
| Zesendertighonderdhoek | 3,14159d | 3,14159…… ( π ) |
Uit deze eenvoudige benadering blijkt, dat in het begin de constante vrij snel stijgt, maar dat na een 72-hoek de stijging nog maar gering is. Het constante getal 3,14….. gaat hierna langzaam naderen tot het ons bekende getal π, waarbij er steeds meer decimalen bijkomen.
Vergelijking met de cirkelboog
Uit de tabel blijkt al, dat naarmate het aantal hoeken van de veelhoek groter wordt, het constante getal π steeds meer in zicht komt. Dit houdt ook in, dat elk rechte lijnstukje van de veelhoek dat op de cirkel ligt, steeds meer op een cirkelboogje gaat lijken, waardoor
uiteindelijk de zijden van de veelhoek samenvallen met de cirkelbogen.
Bij een tweeënzeventighoek is, zoals de tabel laat zien, de constante al aardig op weg naar de wiskundige constante π .
In de afbeelding is één sector van deze veelhoek weergegeven. Als een zijde van die veelhoek en de bijbehorende cirkelboog wordt vergeleken met bijvoorbeeld een zijde van een vierkant of een regelmatige vijfhoek, dan is het verschil wel duidelijk: bij de tweeënzeventighoek valt een zijde ervan ongeveer samen met de cirkelboog, terwijl bij het vierkant of de vijfhoek nog een groot verschil aanwezig is.
Het irrationale getal π
In wiskundige termen uitgedrukt, is de wiskundige constante π is een irrationaal getal, dat zelfs transcendent is. Dit houdt in dat π niet als een verhouding van twee hele getallen te schrijven is en dat in de decimale voorstelling geen zich herhalend patroon voorkomt. De waarde van π kan daarom in decimale notatie alleen benaderd worden, want de reeks cijfers achter de komma is oneindig lang.
Met een computer is het tegenwoordig niet al te moeilijk een miljoen decimalen van π te berekenen. Of je daar veel mee kan doen, is natuurlijk weer heel iets anders. Voor praktische doeleinden is het rekenen met 3,14159….. voor de meeste toepassingen al ruim voldoende. Met zo ongeveer 200 decimalen de letter π uit beelden - zoals hiernaast is gedaan - is natuurlijk veel aardiger dan een oneindige reeks decimalen uit te rekenen!
Zonnewijzers
' A toi un instant suffit
pour rassembler l' éternité'
Zonnewijzers, voor ons opgegroeid in het digitale tijdperk, een bijna vergeten woord. Ooit voor mensen een hulpmiddel om te weten hoe laat het was, nu een curiositeit die een tuin kan verfraaien,
maar die zelden nog gebruikt wordt als tijdaanwijzer.
Zonnewijzers in Frankrijk
Zonnewijzers vragen zon, anders werken ze niet. Het ligt dus wel voor de hand, dat je er in een land als Frankrijk heel wat meer zult vinden dan hier in Nederland. In het zuidoosten van Frankrijk bijvoorbeeld, wat de Fransen des Alpes à la Méditerranée noemen, kom je zo'n ongeveer 200 zonnewijzers tegen. Hierbij hebben we het dan over zonnewijzers die op muren van kerken of andere gebouwen zijn geschilderd, want daar zijn dankzij restauraties de meeste van intact gebleven. De zonnewijzer, uitgevonden door de Egyptenaren en verbeterd door de Grieken, was een geduchte concurrent van de zandloper of van andere toestellen als wateruurwerken, waarmee getracht werd de tijd te meten. In de Renaissance werd de zonnewijzer als het ware herontdekt, aangezien men een betrouwbare tijdaanwijzing belangrijk begon te vinden. Men kwam in die tijd ook tot allerlei verbeteringen en tot correctiemogelijkheden, waardoor het mogelijk werd de tijd steeds nauwkeuriger af te lezen. Er zijn namelijk in het jaar maar vier perioden aan te wijzen, waarin de aangewezen tijd op de zonnewijzer precies overeenkomt met de werkelijke tijd.
Boodchappen en vermaningen
De reizigers die in die tijd de op de muren geschilderde zonnewijzers passeerden, lazen niet alleen de tijd af, maar kregen als extra service boodschappen en vermaningen mee; boodschappen en vermaningen die hen moesten aansporen na te denken over de grote en kleine gebeurtenissen van het leven. Alles kwam hierbij aan de orde: de dood, het leven, de zon, gebeden en loftuitingen aan God, en zelfs patriottische en politieke leuzen. Vele, soms ook bij ons bekende, uitdrukkingen en spreuken kom je tegen, als: 'Maak voort, want het is later dan je denkt' of: 'Reiziger gegroet, let op de tijd'. Ook fraai zijn leuzen als: 'Het kan niet altijd lente zijn', of de heel modern aandoende vermaning: 'Haast u langzaam'. Sommige mededelingen hebben direct te maken met de zonnewijzer zelf, zoals: 'Door de zon kan ik de tijd aanwijzen', of: 'Zonder zon ben ik stil', of wat te denken van: 'De wolken en de nacht zijn mijn vijanden'. Het lijkt wel of je het over zonnepanelen hebt! Dergelijke prachtige leuzen kom je nog maar zelden tegen in deze tijd van kennis; een tijd waarin wij kennis bezitten van de tijd zelf, maar dikwijls aan het leven zelf voorbijgaan.
Nauwkeurigheid
De nauwkeurigheid waarmee wij tegenwoordig de tijd kunnen bepalen ligt in de orde van 10-15 ( = 1/1.000.000.000.000.000) van een seconde per seconde. Een dergelijke precisie wordt ontleend aan trillingen in atomen, een tijdbepaling dus waaraan de zon niet meer te pas komt. Een tijdbepaling, die je in je gewone dagelijkse leven ook niet nodig hebt. Maar ook al is de zonnewijzer dan niet zo nauwkeurig, dood is hij nog lang niet! De zonnewijzer wordt namelijk door velen gezien als een schatbewaarder van een vervlogen tijd. De zonnewijzer met zijn eigen schoonheid, bijna als een klein museum in de open lucht, biedt ons ook troost in deze onzekere tijd met opschriften als: 'Ik tel alleen de gelukkige uren.' en: 'Ik schenk vreugde aan iedereen.
Op de zonnewijzer bovenaan deze pagina staat: "Il est toujours l'heure de ne rien faire", vrij vertaald: Er is altijd wel tijd te vinden om niets te doen.
Geraadpleegd: Cadrans du soleil, van Pierre Ricou/Jean Marie Homet Editions Jeanne Lafitte
| Sjabloon:Galerijbestand | Sjabloon:Galerijbestand | Sjabloon:Galerijbestand
|