Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

1. 2 ²/ ₉ + ⁵/ ₉ = 2 ⁷/ ₉

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Quotiënt	Φ
1 : 1	1
2 : 1	2
3 : 2	1,5
5 : 3	1,67
8 : 5	1,6
13 : 8	1.62500
89 : 55	1,6181818
610 : 377	1,61537135
4181 : 2584	1,61803405
28657 : 17711	1,61803399
196418 : 121393	1,618033989

Rekenkunde ( 6 )

In Rekenkunde ( 5 ) werden de Breuken behandeld met hun specifieke eigenschappen.
In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan:

• Samengestelde breuken
• Herleiden van breuken naar decimale getallen
• Herleiden van decimale getallen naar breuken
• Vereenvoudiging van breuken met de Grootste Gemene Deler ( GGD )
• Ontbinden in factoren
• Vereenvoudiging van breuken met het Kleinste Gemene Veelvoud ( KGV )

Samengestelde breuken

Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 1

3 / 4 ------ 5 / 8 en : 5 5 / 6 ------ 5 1 / 4

Deze samengestelde breuken kunnen door deling worden herleid tot gewone breuken.
Voorbeeld 2

3 / 4 ------- = 3 / 4 : 5 / 8 = 3 / 4 • 8 / 5 5 / 8 Na vereenvoudiging wordt dit : 3 • 2 / 5 = 6 / 5 = 1 1 / 5

Door de 2 ^e breuk om te keren, wordt de deling een vermenigvuldiging!
Voorbeeld 3

5 5 / 6 -------- = 35 / 6 : 21 / 4 = 35 / 6 • 4 / 21 5 1 / 4 Na vereenvoudiging wordt dit : 5 / 3 • 2 / 3 = 10 / 9 = 1 1 / 9

Herleiden van breuken naar decimale getallen

Sommige breuken kunnen eenvoudig worden herleid naar decimale breuken.
Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 4

4 / 5 en: 3 3 / 5

Uitgewerkt geeft dit:

4 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 8 / 10 = 0,8

En ook:

3 3 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 3 6 / 10 = 3,6

Herleiden van decimale getallen naar breuken

Sommige decimale getallen kunnen eenvoudig worden herleid naar breuken.
Voorbeeld 5

7,5 = 7 5 / 10 = 7 1 / 2

Voorbeeld 6

8,225 = 8 225 / 1000 Teller en noemer delen door 25 : 8 9 / 40

Grootste gemene deler ( GGD )

Voor het vereenvoudigen van grote breuken, wordt gebruik gemaakt van de grootste gemene deler. Hierbij worden zowel de teller als de noemer door het grootst mogelijke getal gedeeld.
Voorbeeld 7

315 / 420 Delen door 5 = 63 / 84 Delen door 3 = 21 / 28 Delen door 7 = 3 / 4 = 0,75 De grootste gemene deler = 5 • 3 • 7 = 105

Ontbinden in factoren

Alvorens met het kleinste gemene veelvoud aan de slag te gaan, is het nodig even een uitstapje te maken naar het ontbinden in factoren.
Bij het ontbinden in factoren wordt een getal ontleed in de kleinst mogelijke factoren, die alleen door zich zelf deelbaar zijn. Dit worden ook wel priemgetallen genoemd.
De priemgetallen tussen 1 en 20 zijn :

• 1
• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19

Voorbeeld 8

150 = 2 • 75 150 = 2 • 3 • 25 150 = 2 • 3 • 5 • 5 150 = 2 • 3 • 5 2

Ook zeer grote getallen kunnen worden ontbonden in factoren.
Voorbeeld 9

8820 = 2 • 4410 8820 = 2 • 2 • 2205 8820 = 2 2 • 3 • 735 8820 = 2 2 • 3 • 3 • 245 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 49 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 7 2

Kleinste gemene veelvoud ( KGV )

Als een aantal breuken met verschillende noemers moet worden opgeteld, dan moeten deze noemers aan elkaar gelijk worden gemaakt.
Voorbeeld 10

1 / 2 + 2 / 3 + 4 / 5 Het KGV = 30, zodat: 15 / 30 + 20 / 30 + 24 / 30 = 59 / 30 = 1 29 / 30

Met deze relatief kleine noemers is het vrij eenvoudig het KGV vast te stellen. Anders wordt het, als de noemers groot worden.
Voorbeeld 11

5 / 8 - 3 / 7 + 31 / 120 De eerste noemer 8 wordt ontbonden in : 2 3 De tweede noemer 7 kan niet verder worden ontbonden De derde noemer 120 wordt ontbonden in : 2 3 • 3 • 5 Het KGV is opgebouwd uit de grootste gevonden elementen : 2 3 • 3 • 5 • 7 = 840 De uitkomst van de breuk wordt nu : 525 / 840 - 315 / 840 + 217 / 840 = 382 / 840 = 191 / 420

Rekenkunde ( 7 )

Het onderwerp Rekenkunde wordt afgesloten met een aantal bizondere onderwerpen, te weten:

• De kenmerken van deelbaarheid van een getal
• Worteltrekken door ontbinden in factoren
• Procent en promille
• Verhoudingen en evenredigheden

Kenmerken van deelbaarheid

Aan een getal kan meestal worden gezien of dit deelbaar is door een priemgetal. Om de deelbaarheid van een getal om de deelbaarheid van een geheel getal te kunnen achterhalen bestaan eenvoudige middelen : de zogemaamde kenmerken van deelbaarheid. Voorwaarde hierbij is, dat het resultaat van de deling ook weer een geheel getal is.

• Een getal is deelbaar door 2 , als het laatste cijfer deelbaar is door 2.

Voorbeeld 1

Het getal 123456 is deelbaar door 2 , want 6 is deelbaar door 2

• Een getal is deelbaar door 3 , als de som van de cijfers deelbaar is door 3.

Voorbeeld 2

Het getal 12345 is deelbaar door 3 , want 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 15 is deelbaar door 3

• Een getal is deelbaar door 5 , als het laatste cijfer deelbaar is door 5.

Voorbeeld 3

Het getal 12345 is deelbaar door 5 , want het laatste cijfer = 5 Het getal 12345 bleek in Voorbeeld 2 al deelbaar door 3, zodat 12345 deelbaar is door 15

• Een getal is deelbaar door 11 , als de som van de cijfers op de oneven plaatsen min de de som van de cijfers op de even plaatsen deelbaar is door 11.

Voorbeeld 5

Het getal 12345 is deelbaar door 5 , want het laatste cijfer = 5 Het getal 12345 bleek in Voorbeeld 2 al deelbaar door 3, zodat 12345 deelbaar is door 15