Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Quotiënt	Φ
1 : 1	1
2 : 1	2
3 : 2	1,5
5 : 3	1,67
8 : 5	1,6
13 : 8	1.62500
89 : 55	1,6181818
610 : 377	1,61537135
4181 : 2584	1,61803405
28657 : 17711	1,61803399
196418 : 121393	1,618033989

De kerstverlichting in ons land neemt bij elkaar een vermogen op van ruim 500 MW. Dit houdt in, dat hiervoor in een elektriciteitscentrale één grote generator extra moet worden ingezet, om aan de vraag te kunnen voldoen. ( 1 MW = 10 6 watt = 1 miljoen watt )

Rekenkunde ( 1 )

Rekenen blijkt bijna elke dag weer een noodzakelijke bezigheid te zijn. Ondanks het gemak dat we al lange tijd van onze calculators hebben, blijkt het – zeker voor wat de ingewikkelde problemen - nog steeds noodzakelijk inzicht te hebben in de grondslagen van het rekenen.
Het blijkt ook, dat studenten in het voortgezette onderwijs veelal niet in staat zijn te werken met breuken, kenmerken van deelbaarheid kleinste gemene veelvoud en grootste gemene deler.
Om hier enigszins aan tegemoet te komen, zullen in enkele artikelen de volgende bewerkingen van het rekenen worden behandeld, namelijk :

• Optellen en aftrekken
• Vermenigvuldigen en delen
• Machtsverheffen en worteltrekken
• Volgorde van de bewerkingen

De verschillende bewerkingen worden verder uitgebreid met Decimale getallen en met Breuken.
Het onderwerp rekenen wordt afgesloten met:

• Ontbinden in factoren
• Kenmerken van deelbaarheid
• Kleinste gemene veelvoud ( KGV )
• Grootste gemene deler ( GGD )
• Bijzondere onderwerpen

In de nu volgende hoofdstukken worden de bewerkingen Optellen en Aftrekken behandeld en waar nodig met voorbeelden verduidelijkt.

Optellen

Een van de eenvoudigste bewerkingen van het rekenen is natuurlijk het optellen, al kan dit soms lastig zijn als zeer veel getallen bij elkaar moeten worden opgeteld.

• Voorbeeld 1

733 + 12 + 56 + 11 + 345 + 24 + 67 + 134

Het optellen van zo’n reeks getallen gaat het eenvoudigste door de getallen onder elkaar te plaatsen en dan te beginnen met de rechtse rij, aldus:

733 12 56 11 345 24 67 134 ------- 1383

Als de rechtse rij wordt opgeteld, dan is de som hiervan = 32. Dat houdt in, dat onder de streep het cijfer 2 wordt geplaatst en dat de 3 moet worden onthouden om bij de 2 ^e rij te worden opgeteld, wat het getal 28 oplevert. Hierdoor komt er onder de streep het getal 8 te staan en moet het getal 2 worden onthouden. Opgeteld met de cijfers uit de 3 ^e rij levert dat 13 op, zodat de uitkomst van deze optelling = 1383.
Als de getallen van deze optelling in een andere volgorde zouden staan, dan levert dat geen verschil op!

Aftrekken

Net als bij het optellen kunnen de getallen bij deze bewerking onder elkaar geplaatst, maar dat kan verwarring opleveren. Het aftrekken gaat eenvoudiger, als het af te trekken gedeelte eerst wordt opgeteld en vervolgens van het eerste cijfer wordt afgetrokken.waardoor een vlotte berekening mogelijk wordt gemaakt.

• Voorbeeld 2

733 - 12 - 56 - 11 - 24 - 67

De af te trekken cijfers bij elkaar optellen :

12 + 56 + 11 + 24 + 67 = 170

Onder elkaar plaatsen van de cijfers:

733 170 ----- 563

De rechtse rij levert een 3 op. Bij de 2e rij moet ‘geleend’ worden van de 3 ^e rij, waardoor het cijfer 7 van die rij verandert in een 6, zodat de uitkomst van de 3 ^e rij een 5 wordt. De uitkomst van deze aftreksom levert dus het getal 563 op.
Ook hier geldt, dat de volgorde van de cijfers die moeten worden afgetrokken niet belangrijk is.

Combinatie van optellen en aftrekken

Soms komt het voor, dat er getallen moeten worden opgeteld en in dezelfde bewerking ook weer getallen moeten worden afgetrokken.

• Voorbeeld 3

8 – 3 + 2 – 7 + 5 = 5 + 2 – 7 + 5 = 7 – 7 + 5 = 0 + 5 = 5

Bij deze bewerking gaat optellen en aftrekken ná elkaar!

Vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen worden de te vermenigvuldigen getallen onder elkaar geplaatst en verder bewerkt, waarbij het kleinste getal onder wordt gezet. Als de uitkomst van een bewerking 10 is of groter is dan 10, dan moet het linker deel hiervan worden onthouden en bij de volgende bewerking worden gevoegd.

• Voorbeeld 1

567 • 34

Eerst onder elkaar zetten:

567 34 ----

Dan 567 met 4 vermenigvuldigen:

567 4 ---- 2268

4 • 7 = 28. Hiervan de 8 noteren en de 2 onthouden. 4 • 6 = 24 + de onthouden 2 = 26. Dit noteren en de 2 onthouden. 4 • 5 = 20 + de onthouden 2 = 22. Het totaal is dus 2268. Daarna op gelijke wijze 567 met 30 vermenigvuldigen:

567 30 -------- 17010

Tenslotte beide uitkomsten optellen:

2268 17010 --------- 19278

In de praktijk vallen de tussenbewerkingen samen, aldus:

567 34 ------- 2268 17010 --------- 19278

Delen

Bij het delen worden de getallen naast elkaar geplaatst, waarbij meestal het grootste getal links komt te staan. Soms komen combinaties van vermenigvuldigen en delen voor .

• Voorbeeld 2

Als een voorwerp van 90 mm in drie gelijke delen moet worden verdeeld, dan wordt ieder stuk van dat voorwerp het derde gedeelte ervan, dus 30 mm. Aldus:

Deze bewerking wordt zo geschreven:

90 : 3 = 30

Niet alle delingen zijn zó eenvoudig op te lossen, zoals uit het volgende voorbeeld blijkt:

• Voorbeeld 3

3471 : 13

Dit wordt aldus genoteerd:

13 | 267 ----------- 3471 26 ------- 87 78 ------- 91 91 ------- 0

Eerst wordt gekeken, welk veelvoud van 13 het dichts bij 34 komt. Dit blijkt 26 = 2 • 13 te zijn. Dit getal wordt onder 34 geplaatst en afgetrokken, zodat de rest 8 is die moet worden onthouden. De 2 van de uitkomst wordt met streep naast 13 geplaatst.
Dan wordt de 7 naar beneden gehaald en achter de 8 geplaatst waardoor dit dan 87 wordt. Dit getal kan worden gedeeld door 78 = 6 • 13, waarbij een rest van 9 overblijft. Het getal 6 wordt boven bijgeschreven. Als laatste wordt de 1 naar beneden gehaald en achter de 9 geplaatst. Het getal wordt nu 91. Het getal 91 = 7 • 13, zodat er geen rest overblijft. Het blijkt dus, dat:

3471 : 13 = 267

Als het te delen getal bijvoorbeeld 3481 was geweest, dan was er een rest overgebleven van 10.

Combinaties van delen en vermenigvuldigen

De combinatie van delen en vermenigvuldigen wordt aldus genoteerd:

• Voorbeeld 4

256 • 30 • 125 -------------------- 8

Deze vorm kan eerst worden vereenvoudigd, door na te gaan of één van de getallen boven de streep deelbaar is door 8. Dat blijkt zo te zijn, namelijk het getal 256. Hierdoor wordt de vorm als volgt:

32 • 30 • 125 = 120

Rekenkunde ( 3 )

In [[Rekenkunde ( 1 ) en ( 2 ) zijn Optellen, Aftrekken, Vermenigvuldigen en Delen behandeld. In Rekenkunde ( 3 ) worden de bewerkingen Machtsverheffen en Worteltrekken besproken.

Machtsverheffen

Bij het machtsverheffen wordt een getal , één , twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 1

Als het getal 5 een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus 5 • 5 • 5, dan wordt dit genoteerd als :5 ³ , en wordt het cijfer 3 boven het cijfer 5 als een macht genoteerd. Deze vorm wordt uitgesproken als: 5 tot de derde.

Het cijfer 3– de exponent - in de vorm 5³ geeft aan hoeveel keer het getal 5 – het grondtal – met zichzelf vermenigvuldigd moet worden. In dit geval is de uitkomst dus:

5 • 5 • 5 = 125

Optellen en aftrekken van machten

Als machten moeten worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken, dan moeten de machten eerst worden uitgewerkt om daarna verder bewerkt te kunnen worden.

• Voorbeeld 2

3 ³ + 3 ² = 3 • 3 • 3 + 3 • 3 = 36

Vermenigvuldigen en delen van machten

Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of afgetrokken.

• Voorbeeld 3

5 ³• 5 ⁴ = 5 ^{3 + 2} = 5 ⁵ = 3125

en ook:

5 ⁴: 5 ³ = 5 ^{4 - 1} = 5 ³ = 125

Machtsverheffen van machten

Als machten zelf tot een macht verheven moeten worden, dan worden de exponenten met elkaar vermenigvuldigd.

• Voorbeeld 4

( 8 ³ ) ² = 8 ³• 8 ³ = 8 ⁶ = 262144

Worteltrekken

Bij het machtsverheffen wordt een getal met zichzelf vermenigvuldigd. Bij het worteltrekken gebeurt deze handeling in omgekeerde volgorde.

• Voorbeeld 5

Als 5 ² = 25, dan wordt door worteltrekken het oorspronkelijke grondtal zonder exponent verkregen, namelijk 5. Het getal 5 is de wortel uit 25.
Dit wordt geschreven als √ 25. Aangezien dit de tweedemachtswortel of de vierkantswortel uit 25 is, zou eigenlijk boven het wortelteken een 2 gezet moet worden. Dit wordt in de praktijk echter nooit uitgevoerd. Zou het een hogere machtswortel betreffen, dan moet dit wel gebeuren. Dit valt echter buiten het bestek van deze verhandeling.

Grote getallen

• Voorbeeld 6

Uit 7 ² = 49 volgt, dat √ 49 = 7. Dit is betrekkelijk eenvoudig en geeft geen moeilijkheden. Als de getallen niet al te groot zijn, is het nog goed doenlijk de wortel uit dat getal te trekken. De vorm √ 625 = 25 bijvoorbeeld levert voor de meeste mensen nog geen problemen op.
Anders wordt het, als de wortel uit een groot getal als 6561 moet worden getrokken. Hier moet dan een bijzondere manier worden toegepast om achter de uitkomst te komen.
Om de vorm √ 6561 op te lossen,, wordt als volgt te werk gegaan:

• Verdeel het getal vanaf de rechterkant in groepen van 2 cijfers, dus: 65 | 61
• Zoek het grootste getal, dat in het kwadraat zó dicht mogelijk bij het linker getal ligt,dus: 8 • 8 = 64. De rest is dus 1
• Plaats die 1 vóór de tweede groep cijfers, dus: 161
• Tel hierna de cijfers van de eerste bewerking op, dus: 8 + 8 = 16
• Zoek bij dit getal het cijfer - in dit geval 1 - dat vermenigvuldigd met zichzelf - zó dicht mogelijk bij het getal 161 ligt.
• De uitkomst van de berekening blijkt te zijn: √ 6561 = 81

65 | 61 | 81 ------------------------ 8 • 8 = 64 ------------------------ 1 161 8 + 8 = 16 161 • 1 = 161 ------------------------ 0

Bij nog grotere getallen, gaat de berekening nog even door.

• Voorbeeld 7

√4338889 = ?

• Verdelen in groepen van twee cijfers, dus 4 | 33| 88 | 89
• De verdere bewerkingen als in Voorbeeld 6
• Bij de 2e bewerking aangekomen, blijkt het getal 33 kleiner te zijn, dan de kleinst mogelijke vermenigvuldiging ( 41 • 1 ). Hiervoor de 0 naar de 4 brengen en het getal 88 naar beneden halen.
• De uitkomst van de berekening is dus: √4338889 = 2083

4 | 33 | 88 | 89 | 2083

    --------------------------------------------------------

2 • 2 = 4

---

2 + 2 = 4 3388 408 408 • 8 = 3264

---

408 + 8 = 416 12489 4163 • 3 = 12489

---

   				            0												

Bij de behandeling van de breuken en tiendelige breuken zullen ook wortels getrokken worden uit getallen die geen kwadraat vormen, bijvoorbeeld √51.

Vermenigvuldigen van wortels

Bij het vermenigvuldigen van wortels wordt soms een vereenvoudigde schrijfwijze toegepast.

• Voorbeeld 8

√ 9 • √ 36 = √ ( 9 • 36 ) = √ 324 = 18

√ 9 • √ 36 = √ ( 9 • 36 ) = √ 324 = 18