|
|
| Regel 31: |
Regel 31: |
|
| |
|
| ==Rondom de cirkel ( 2 )== | | ==Rondom de cirkel ( 2 )== |
|
| |
|
| |
|
| |
| =Goniometrie=
| |
| De goniometrie<sup>*)</sup> wordt toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de elektrotechniek, bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw de nodige wiskundige berekeningen te kunnen uitvoeren.
| |
| <br/>In de volgende verhandeling worden de belangrijkste goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.
| |
| --------------------------------------------------
| |
| <sup>*)</sup> '''''Goniometrie = hoekmeting''''' . '''Gonio''' is afgeleid van het Griekse woord '''Goonia''', wat '''hoek''' betekent.
| |
| [[Afbeelding:Driehoek ABC.jpg|250px|right]]
| |
| ==Goniometrische verhoudingen==
| |
| De afgebeelde rechthoekige driehoek '''''ABC''''' bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook voor andere doeleinden gebruikt.
| |
| <br/>De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de '''''sinus''''' van de '''''hoek α''''' meestal afgekort tot '''''sin α'''''.
| |
| <br/>De ''sinus'' van ''hoek α'' wordt als volgt omschreven:
| |
| ::* '''''sin α = overliggende rechthoekszijde / schuine zijde = BC / AB'''''.
| |
| De tweede goniometrische verhouding, de '''''cosinus α''''', afgekort tot '''''cos α ''''', wordt als volgt omschreven:
| |
| ::* '''''cos α = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde = AC / AB'''''.
| |
| Er zijn nog '''twee''' goniometrische verhoudingen aan te wijzen,
| |
| <br/>namelijk '''''tangens α ( tan α )''''' en '''''cotangens α ( cotan α )'''''. Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.
| |
| ::* '''''tan α = overliggende rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde = BC / AC'''''
| |
| ::en:
| |
| ::* '''''cotan α = aanliggende rechthoekszijde / overliggende rechthoekszijde = AC / BC'''''.
| |
| Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche
| |
| verhoudingen bekend, namelijk '''''secans α ( sec α )''''' en '''''cosecans α ( cosec α ) '''''.
| |
| <br/>Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld
| |
| ==Rekenvoorbeelden ( 1 )==
| |
| ::'''''Rekenvoorbeeld 1'''''
| |
| ::In de eerder afgebeelde driehoek '''''ABC''''' hebben de zijden de volgende afmetingen:
| |
| ::* '''''AB = 5 cm'''''
| |
| ::* '''''AC = 4 cm'''''
| |
| ::* '''''BC = 3 cm'''''
| |
| ::Hieruit volgt :
| |
| ::* '''''sin α = BC / AB = 0,6'''''
| |
| ::* '''''cos α = AC / AB = 0,8'''''
| |
| ::* '''''tg α = BC / AC = 0,75'''''
| |
| ::* '''''cotg α = AC / BC = 1,333'''''
| |
| ::In dit voorbeeld werd nog met afmetingen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen deze worden weggelaten, waardoor een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van '''cotg α''' niet meer uitgevoerd.
| |
| [[Afbeelding:Driehoek 30 graden.jpg|280px|right]]
| |
| ::'''''Rekenvoorbeeld 2'''''
| |
| ::De driehoek '''''ABC''''' in bijgaande afbeelding – als helft van een [[Rondom de cirkel ( 2 )|gelijkzijdige driehoek]] - heeft de volgende hoeken :
| |
| ::* '''''hoek α = 30<sup> 0</sup>'''''
| |
| ::* '''''hoek γ = 90<sup> 0</sup>'''''
| |
| ::Aangezien in een driehoek de som van de hoeken '''''180<sup> 0</sup>'''''bedraagt, volgt hieruit, dat '''''hoek β = 60<sup> 0</sup>'''''.
| |
| ::Gesteld werd, dat de driehoek de helft is van een '''gelijkzijdige''' driehoek, zodat zijde '''''BC = ½ AB'''''.
| |
| [[Afbeelding:Afleidingen.JPG|485px|left]]
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| {| {{Galerij rechts}}
| |
| |-
| |
| |-
| |
| |}
| |
| {| class="wikitable"
| |
| !Hoek
| |
| !Sinus
| |
| !Cosinus
| |
| !Tangens
| |
| |-
| |
| |'''0<sup>0</sup>'''
| |
| |'''0'''
| |
| |'''1'''
| |
| | '''0'''
| |
| |-
| |
| |'''30<sup>0</sup>'''
| |
| | '''½'''
| |
| |''' ½√3'''
| |
| | '''⅓√3'''
| |
| |-
| |
| |'''45<sup>0</sup>'''
| |
| |''' ½ √2'''
| |
| |''' ½ √2'''
| |
| | '''1'''
| |
| |-
| |
| |'''60<sup>0</sup>'''
| |
| | '''½√3'''
| |
| |''' ½'''
| |
| | '''√3'''
| |
| |-
| |
| |'''90<sup>0</sup>'''
| |
| | '''1'''
| |
| | '''0'''
| |
| | '''± ∞'''
| |
| |}
| |
| '''''Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken'''''
| |
| ==Verdere afleidingen==
| |
| Op dezelfde wijze als in '''Rekenvoorbeeld 2''', kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van '''''hoek α = 60<sup> 0</sup>, hoek α = 45<sup> 0</sup>, hoek α = 90<sup> 0</sup> en 0<sup> 0</sup>'''''. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in '''''Tabel I'''''.
| |
| <br/>Het zal duidelijk zijn, dat men ooit van alle hoeken van '''''0<sup> 0</sup>''''' tot '''''90<sup> 0</sup>'''''de goniometrische verhoudingen heeft berekend en dat daar tabellen van zijn gemaakt. Deze tabellen staan in alle handboeken over goniometrie vermeld, waarbij meestal ook ook de verhoudingen genoemd worden van de hoeken die met een hoek van ''''' 10 minuten''''' opklimmen. Tussenliggende hoeken - bijvoorbeeld de sinus van een hoek '''''α = 63<sup> 0</sup>38'24"''''' - kunnen hierdoor met behulp van interpolatie worden bepaald uit de gegeven waarden. In dit geval is de uitkomst '''0,89597'''.
| |
| <br/>Het is namelijk zó, dat '''''1<sup> 0</sup>''''' kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.
| |
| *'''''1<sup> 0</sup> = 60 minuten ( 60' )'''''
| |
| en
| |
| *'''''1' = 60 seconden ( 60" )'''''
| |
| Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegegeven. Met een ' trucje ' - in feite een 'veredelde vorm van interpoleren - lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:
| |
| * Gevraagd de sinus van hoek '''''α = 32<sup> 0</sup>18'44"'''''.
| |
| Dit levert op :
| |
| * '''''sin α = sin 32<sup> 0</sup> + 18 + [ ( 44 ) / 60 ) / 60 ] = sin 32,3122<sup> 0</sup> = 0,5345''''' [[Afbeelding:Driehoek met loodlijn.jpg|240px|right]]
| |
| Een afleiding van geheel andere orde is een formule, die de betrekking tussen ''dezelfde'' hoek geeft, bijvoorbeeld hoek '''''α'''''.
| |
| <br/>In de afgebeelde driehoek '''''ABC''''' is:
| |
| *'''''BC / AB = sin α'''''
| |
| en dus ook:
| |
| * '''''BC = AB sin α'''''
| |
| Verder is:
| |
| * '''''AC / AB = cos α'''''
| |
| en dus ook:
| |
| *'''''AC = AB cos α'''''
| |
| Als nu een loodlijn '''CD''' op zijde '''AB''' wordt neergelaten, dan ontstaan de driehoeken '''''ACD''''' en '''''BCD''''', die ''gelijkvormig'' zijn aan driehoek '''''ABC'''''.
| |
| <br/>Hieruit volgt dan:
| |
| * '''''BD / BC = sin α'''''
| |
| en dus ook:
| |
| * '''''BD = BC sin α'''''
| |
| waaruit dan weer volgt:
| |
| * '''''BD = AB sin α · sin α = AB sin<sup> 2</sup>α'''''
| |
| Verder is:
| |
| * '''''AD / AC = cos α'''''
| |
| en dus ook:
| |
| * '''''AD = AC cos α'''''
| |
| waaruit dan weer volgt:
| |
| * '''''AD = AB cos α · cos α = AB cos<sup> 2</sup>α'''''
| |
| Uit de afbeelding blijkt, dat:
| |
| * '''''BD + AD = AB'''''
| |
| zodat dus:
| |
| * '''''AB sin<sup> 2</sup>α + AB cos<sup> 2</sup>α = AB'''''
| |
| Als hierna alle termen van deze vergelijking worden gedeeld door '''''AB''''', dan is dus:
| |
| * '''''sin<sup> 2</sup>α + cos<sup> 2</sup>α = 1'''''
| |
| Dit is een belangrijke formule, die vaak wordt toegepast in allerlei berekeningen.
| |
| <br/>Als bijvoorbeeld '''''sin α = 0,8''''', dan is dus '''''cos α''''' af te leiden uit:
| |
| * '''''cos<sup> 2</sup>α = 1 - sin<sup> 2</sup>α = 1 - 0,64 = 0,36'''''.
| |
| Hieruit volgt dan:
| |
| * '''''cos α = √ 0,36 = 0,6'''''
| |
| [[Afbeelding:Sinus- en cosinuslijn.jpg|550px|right]]
| |
| ==Sinus- en cosinuslijn==
| |
| In bijgaande afbeeldingen komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle getalwaarden van '''sinus α''' en '''cosinus α''' in een vloeiende gebogen lijn tot een '''sinus'''- of '''cosinuslijn''' kunnen worden omgezet.
| |
| <br/>Begonnen wordt in het 1<sup>e</sup> kwadrant bij een '''''hoek α = 0<sup> 0</sup>''''', waarna de straal van de cirkel verder draait en onderweg de getekende '''''hoek α = 60<sup> 0</sup>''''' ( '''sin α = ½√3''' ) passeert. Merk op, dat bij '''''hoek α = 90<sup> 0</sup>''''' de sinuslijn maximaal is '''''( = 1 )'''''.
| |
| <br/>Verder valt op, dat in het 2<sup>e</sup> kwadrant - tussen '''''hoek α = 90<sup> 0</sup> en 180<sup> 0</sup>''''' - '''sinus α''' nog steeds positief is. Pas in het 3<sup>e</sup> en 4<sup>e</sup> kwadrant krijgt '''sinus α''' een - teken.
| |
| <br/>De cosinuslijn wordt op soortgelijke wijze opgebouwd als de sinuslijn.
| |
| <br/>Begonnen wordt in het 1<sup>e</sup> kwadrant bij een '''''hoek α = 0<sup> 0</sup>''''' waarbij dus '''''cos α = 1''''', waarna de straal van de cirkel verder draait. Merk op, dat bij '''''hoek α = 90<sup> 0</sup>''''' de cosinuslijn minimaal is '''''( = 0 )'''''.
| |
| <br/>Verder valt op, dat in het 2<sup>e</sup> en 3<sup>e</sup> kwadrant - tussen
| |
| <br/>'''''hoek α = 90<sup> 0</sup> en 270<sup> 0</sup>''''' - '''cosinus α''' negatief is. Pas in het 4<sup>e</sup> kwadrant, dus tussen '''''hoek α = 270<sup> 0</sup> en 360<sup> 0</sup>''''', krijgt '''cosinus α''' weer een + teken.
| |
| <br/>Om een en ander nog te verduidelijken en om te zien hoe de hoeken in de verschillende kwadranten worden berekend, dient '''''Tabel II'''''.
| |
| {| {{Galerij rechts}}
| |
| |-
| |
| |-
| |
| |}
| |
| {| class="wikitable"
| |
| !Hoek
| |
| !Sinus
| |
| !Cosinus
| |
| !Kwadrant
| |
| |-
| |
| |'''90<sup>0</sup> - α '''
| |
| |'''cos α '''
| |
| |'''sin α'''
| |
| |1
| |
| |-
| |
| |'''90<sup>0</sup> + α '''
| |
| |'''cos α '''
| |
| |'''- sin α'''
| |
| |2
| |
| |-
| |
| |'''180<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''sin α'''
| |
| |''' - cos α'''
| |
| |2
| |
| |-
| |
| |'''180<sup>0</sup> + α'''
| |
| |''' - sin α'''
| |
| |''' - cos α'''
| |
| |3
| |
| |-
| |
| |'''270<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''- cos α'''
| |
| |''' - sin α'''
| |
| |3
| |
| |-
| |
| |'''270<sup>0</sup> + α'''
| |
| | '''- cos α'''
| |
| |''' sin α'''
| |
| |4
| |
| |-
| |
| |'''360<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''- sin α'''
| |
| | '''cos α'''
| |
| |4
| |
| |-
| |
| | '''360<sup>0</sup> + α'''
| |
| | ''' sin α'''
| |
| | ''' cos α'''
| |
| |1
| |
| |}
| |
| '''''Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90<sup> 0</sup>tot 360<sup> 0</sup>'''''
| |
| <br/>'''''in de vier kwadranten'''''
| |
| ==Rekenvoorbeelden ( 2 )==
| |
| ::'''''Rekenvoorbeeld 3'''''
| |
| ::De sinus van een hoek van '''120<sup>0</sup>''' wordt als volgt berekend:
| |
| ::*'''Sinus 120<sup>0</sup> = sin 90<sup>0</sup>+ α = cos α = cos 30<sup>0</sup> = ½√3'''
| |
| ::'''''Rekenvoorbeeld 4'''''
| |
| ::De cosinus van een hoek van '''120<sup>0</sup>''' wordt als volgt berekend:
| |
| ::*'''Cosinus 120<sup>0</sup> = cos 90<sup>0</sup>+ α = - sin α = - sin 30<sup>0</sup> = - ½'''
| |
| [[Afbeelding:Stompe driehoek.jpg|300px|right]][[Afbeelding:Niet-rechthoekige driehoek.jpg|300px|right]]
| |
| ==Niet-rechthoekige driehoeken==
| |
| Alle tot nu toe gegeven beschouwingen en voorbeelden hadden betrekking op ''hoeken'' en de daarbij behorende goniometrische verhoudingen. Hierbij werd uitgegaan van ''rechthoekige'' driehoeken.
| |
| <br/>Het blijkt mogelijk te zijn met goniometrie ook allerlei berekeningen aan de driehoeken ''zelf'' uit te voeren.
| |
| <br/>Alle beschouwingen en afleidingen die bij dit rekenen voor rechthoekige driehoeken gelden, zijn - met enige aanpassing - ook van toepassing op ''niet-rechthoekige driehoeken''. Voorbeelden van niet-rechthoekige driehoeken zijn de afgebeelde ''stompe'' driehoek '''''ABC''''', waarvan één hoek '''> 90<sup>0</sup>''' is, en de ''scherpe'' driehoek waarvan alle hoeken '''< 90<sup>0</sup>''' zijn.
| |
| <br/>Om het rekenen aan driehoeken enigszins te onderscheiden van het rekenen aan hoeken - zoals dat in de ''goniometrie'' gebeurt - heeft men hiervoor de naam '''''trigonometrie''''' ingevoerd.
| |
| ==Omvorming==
| |
| Om in de trigonometrie al te lastige berekeningen te vermijden, laat men - zoals afgebeeld - bij niet-rechthoekige driehoeken vaak een loodlijn op een zijde neer, waardoor deze niet-rechthoekige driehoek wordt omgevormd tot twee rechthoekige driehoeken, waardoor het rekenen eenvoudiger wordt. Een voorbeeld hiervan, is de afleiding van de zogenaamde '''sinusregel''', die hierna wordt behandeld.
| |
| <br/>Met deze regel is men in staat is allerlei wiskundige problemen op te lossen zoals ze zich aandienen bij bouwwerken, in de wegenbouw, bij landmetingen of bij tunnelbouw en andere discipines.
| |
| ==Sinusregel==
| |
| In de laatst afgebeelde driehoek '''''ABC''''' zijn ook de rechthoekige driehoeken '''''ABD''''' en '''''CBD''''' te onderscheiden. Voor driehoek '''''ABD''''' geldt:
| |
| ::*'''BD = c sin α'''
| |
| en voor driehoek '''CBD''' geldt:
| |
| ::*'''BD = a sin γ '''
| |
| hieruit volgt dus:
| |
| ::* '''c sin α = a sin γ'''
| |
| wat ook geschreven kan worden als:
| |
| ::* '''a : c = sin α : sin γ'''
| |
| of als:
| |
| ::* '''a : sin α = c : sin γ'''
| |
| Door ook een hoogtelijn op de zijde '''c''' neer te laten, wordt op dezelfde wijze als hiervoor gevonden:
| |
| ::* '''a : sin α = b : sin β'''
| |
| zodat dus:
| |
| ::* '''a : sin α = b : sin β = c : sin γ'''
| |
| Deze regel heet de sinusregel.
| |
| <br/>In woorden luidt deze regel:
| |
| ::* '''''In een driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overliggende hoeken.'''''
| |
| De sinusregel is ook geldig voor '''stompe''' driehoeken. Met behulp van enkele hulplijnen kan namelijk op dezelfde manier worden aangetoond, dat ook hier geldt:
| |
| ::* '''a : sin α = b : sin β = c : sin γ'''
| |
| Met de afleiding van de sinusregel formule wordt nogmaals aangegeven, hoe de werkwijze van zo'n afleiding is. Op overeenkomstige wijze zijn nog andere goniometrische formules af te leiden.
| |
| <br/>Het zou te ver voeren dit hier uit te voeren. In alle handboeken over wiskunde worden deze formules - meestal zonder de bijbehorende afleiding - vermeld.
| |
| [[Afbeelding:Niet-rechthoekige driehoek.jpg|300px|right]]
| |
| ==Rekenvoorbeelden ( 3 )==
| |
| ::'''''Rekenvoorbeeld 5'''''
| |
| ::* Van de afgebeelde driehoek '''ABC''' is '''hoek α''' = '''25<sup>0</sup>,''' '''hoek β''' = '''85<sup>0</sup>'''en '''hoek γ''' = '''70<sup>0</sup>'''.
| |
| ::De lengte van zijde '''b''' = '''5 cm'''.
| |
| ::Voor de lengte van zijde '''a''' geldt nu volgens de sinusregel:
| |
| ::* '''a : sin 25<sup>0</sup> = 5 : sin 85<sup>0</sup>'''
| |
| ::Hieruit volgt:
| |
| ::* '''a = ( 5 · sin 25<sup>0</sup> ) / sin 85<sup>0</sup>'''
| |
| ::waaruit dan volgt:
| |
| ::* '''a = ( 5 · 0,4226 ) / 0,9962 = 2,121 cm '''
| |
| ::Voor de zijde '''c''' geldt:
| |
| ::* '''c : sin 70<sup>0</sup> = 5 : sin 85<sup>0</sup>'''
| |
| ::wat uitgewerkt oplevert:
| |
| ::* '''c = ( 5 · 0,9397 ) / 0,9962 = 4,716 cm'''
| |
| [[Categorie:Wiskunde]]
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| Ook de hoeken van '''''90<sup> 0</sup>''''' oplopend tot '''''360<sup> 0</sup>''''', kunnen worden bepaald. In '''''Tabel II''''' is dit op overzichtelijke wijze voor '''''sin α en cos α '''''uitgevoerd.
| |
|
| |
| <br/>Deze gegevens zijn ondergebracht in '''''Tabel II''''', waarin de + of - tekens voor de vier vier kwadranten zijn vermeld.
| |
| {| {{Galerij rechts}}
| |
| |-
| |
| |-
| |
| |}
| |
| {| class="wikitable"
| |
| !Hoek
| |
| !Sinus
| |
| !Cosinus
| |
| |-
| |
| |'''90<sup>0</sup> - α '''
| |
| |'''cos α '''
| |
| |'''sin α'''
| |
| |-
| |
| |'''90<sup>0</sup> + α '''
| |
| |'''cos α '''
| |
| |'''- sin α'''
| |
| |-
| |
| |'''180<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''sin α'''
| |
| |''' - cos α'''
| |
| |-
| |
| |'''180<sup>0</sup> + α'''
| |
| |''' - sin α'''
| |
| |''' - cos α'''
| |
| |-
| |
| |'''270<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''- cos α'''
| |
| |''' - sin α'''
| |
| |-
| |
| |'''270<sup>0</sup> + α'''
| |
| | '''- cos α'''
| |
| |''' sin α'''
| |
| |-
| |
| |'''360<sup>0</sup> - α'''
| |
| | '''- sin α'''
| |
| | '''cos α'''
| |
| |-
| |
| | '''360<sup>0</sup> + α'''
| |
| | ''' sin α'''
| |
| | ''' cos α'''
| |
| |}
| |
