Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Goniometrische verhoudingen

Goniometrische verhoudingen worden toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de wiskunde, de elektrotechniek en andere disciplines wiskundige berekeningen te kunnen maken.
In de verhandeling worden deze goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.

Basisbegrippen

De afgebeelde rechthoekige driehoek ABC bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook in andere disciplines toegepast.
De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de sinus van de hoek α meestal afgekort tot sin α.
De sinus van een hoek α wordt als volgt omschreven:

• sin α = overliggende rechthoekszijde / schuine zijde = BC / AB.

De tweede goniometrische verhouding – cosinus α ( cos α ) - wordt als volgt omschreven:

• cos α = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde = AC / AB.

Er zijn nog twee goniometrische verhoudingen aan te wijzen, namelijk tangens α ( tan α ) en cotangens α ( cotan α ). Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.

• tan α = overliggende rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde = BC / AC

en:

• cotan α = aanliggende rechthoekszijde / overliggende rechthoekszijde = AC / BC.

Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche verhoudingen bekend, namelijk secans α ( sec α ) en cosecans α ( cosec α ) .
Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld

Rekenvoorbeelden ( 1 )

Rekenvoorbeeld 1

In de eerder afgebeelde driehoek ABC hebben de zijden de volgende afmetingen:

• AB = 5 cm
• AC = 4 cm
• BC = 3 cm

Hieruit volgt :

• sin α = BC / AB = 0,6
• cos α = AC / AB = 0,8
• tg α = BC / AC = 0,75
• cotg α = AC / BC = 1,333

In dit voorbeeld werd nog met getallen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen de getallen worden weggelaten, zodat een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van de cotg niet meer uitgevoerd.

Rekenvoorbeeld 2

De driehoek ABC in bijgaande afbeelding – als helft van een gelijkzijdige driehoek - heeft de volgende hoeken :

• hoek α = 30 ⁰
• hoek γ = 90 ⁰

Aangezien in een driehoek de som van de hoeken 180 ⁰bedraagt, volgt hieruit, dat hoek β = 60 ⁰.

Aangetoond werd, dat de driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, zodat zijde BC = ½ AB.

Hoek	Sinus	Cosinus	Tangens
00	0	1	0
300	½	½√3	½√3
450	½ √2	½ √2	1
600	½√3	½	√3
900	1	0	± ∞

Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken

Verdere afleidingen

Op dezelfde wijze als in Rekenvoorbeeld 2, kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van hoek α = 60 ⁰, hoek α = 45 ⁰, hoek α = 90 ⁰ en 0 ⁰. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in Tabel I.
Het zal duidelijk zijn, dat men ooit van alle hoeken van 0 ⁰ tot 90 ⁰de goniometrische verhoudingen heeft berekend en daar tabellen van heeft gemaakt. Deze staan in alle handboeken over goniometrie vermeld. In deze tabellen zijn meestal ook de verhoudingen vermeld van de hoeken die met een hoek van 10 minuten opklimmen. Het is namelijk zó, dat 1 ⁰ kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.

• 1 ⁰ = 60 minuten ( 60' )

en

• 1' = 60 seconden ( 60" )

Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegegeven. Met een ' trucje ' lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:

• Gevraagd de sinus van hoek α = 32 ⁰18'44".

Dit levert op :

• sin α = sin 32 ⁰ + 18 + [ ( 44 ) / 60 ) / 60 ] = sin 32,3122 ⁰ = 0,5345

Sinus- en cosinuslijn

In bijgaande afbeeldingen komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle waarden van sinus α en cosinus α in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn worden gevormd.
Begonnen wordt in het 1^e kwadrant bij een hoek α = 0 ⁰, waarna de straal van de cirkel verder draait en onderweg de getekende hoek α = 60 ⁰ ( sin α =½√3) passeert. Merk op, dat bij hoek α = 90 ⁰ de sinuslijn maximaal is ( = 1 ).
Verder valt op, dat in het 2^e kwadrant - tussen hoek α = 90 ⁰ en 180 ⁰ - sinus α nog steeds positief is. Pas in het 3^e en 4^e kwadrant krijgt sinus α een - teken.
De cosinuslijn wordt op soortgelijke wijze opgebouwd als de sinuslijn.
Begonnen wordt in het 1^e kwadrant bij een hoek α = 0 ⁰ = 1 , waarna de straal van de cirkel verder draait. Merk op, dat bij hoek α = 90 ⁰ de cosinuslijn minimaalmaal is ( = 0 ).
Verder valt op, dat in het 2^e en 3^e kwadrant - tussen hoek α = 90 ⁰ en 270 ⁰ - cosinus α negatief is. Pas in het 4^e kwadrant krijgt cosinus α weer een + teken.

Hoek	Sinus	Cosinus
900 + α	cos α	- sin α
1800 - α	sin α	- cos α
1800 + α	- sin α	- cos α
2700 - α	- cos α	- sin α
2700 + α	- cos α	sin α
3600 - α	- sin α	cos α
3600 + α	sin α	cos α

Rekenvoorbeelden ( 2 )

Rekenvoorbeeld 3

De sinus van een hoek van 120⁰ wordt als volgt berekend:

• Sinus 120⁰ = sin 90⁰+ α = cos α = cos 30⁰ = ½√3

Rekenvoorbeeld 4

De cosinus van een hoek van 300⁰ wordt als volgt berekend:

• Cosinus 300⁰ = cos 360⁰- α = cos α = cos 60⁰ = ½

Ook de hoeken van 90 ⁰ oplopend tot 360 ⁰, kunnen worden bepaald. In Tabel II is dit op overzichtelijke wijze voor sin α en cos α uitgevoerd.

Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90 ⁰tot 360 ⁰