Gebruiker:Franciscus/kladblok

<math>Voer de formule in</math><math><math>Voer de formule in</math></math>Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

Rondom de cirkel ( 2 )

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Het blijkt, dat tussen het oppervlak en de omtrek van elke regelmatige veelhoek een verhouding bestaat. Als deze verhouding wordt vergeleken met die van een cirkel, dan blijkt de cirkel de hoogste verhouding te bezitten.

Regelmatige veelhoeken

Bekende voorbeelden van regelmatige veelhoeken zijn:

• de gelijkzijdige driehoek
• het vierkant
• de vijfhoek
• de regelmatige zeshoek

De cirkel, hoewel niet tot de regelmatige veelhoeken gerekend, hoort ook in dit rijtje thuis. De cirkel is in ieder geval ook een tweedimensionale meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen.

Minimum/maximum

De cirkel blijkt van alle meetkundige figuren de figuur te zijn met de grootste oppervlakte / omtrek- verhouding, of anders gezegd: de cirkel bezit bij een gegeven oppervlak ( A ) van alle meetkundige figuren de kleinste omtrek ( O ). Dit kan met eenvoudige berekeningen worden aangetoond, uitgaande van de formules die bij de cirkel horen, namelijk: Het oppervlak A van een cirkel is:

• A_cirkel = π r ²

en de omtrek O van de cirkel is:

• O_cirkel = 2 π r

Om het rekenen eenvoudig te houden, wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm ², waaruit dan weer de omtrek O kan worden afgeleid. Dit is in bijgaande tabel samengevat.

Regelmatige veelhoek	Omtrek O (cm)
Gelijkzijdige driehoek	144
Vierkant	127
Vijfhoek	121
Zeshoek	118
Achthoek	115
Tienhoek	114
Twaalfhoek	113
Zeventienhoek	112,75
Cirkel	112

Verhouding tussen oppervlak en omtrek

Om de verhouding tussen het oppervlak A en de omtrek O in procenten te kunnen uitdrukken, worden de bij de figuren horende formules dimensieloos gemaakt, waarvoor enkele berekeningen nodig zijn. Hierbij wordt weer uitgegaan van de formules die bij de cirkel horen, namelijk:

• A_cirkel = π r ²

en :

• O_cirkel = 2 π r

De dimensie van de straal r is de lengte l, zodat dus r ² de dimensie l ² heeft.
Door nu het oppervlak A te delen door de omtrek O in het kwadraat, vallen de dimensies van de lengte l tegen elkaar weg. Verder is er door invoering van de getalwaarden 4π en 100% voor gezorgd, dat de verhouding tussen oppervlak en omtrek bij de cirkel op 100% uitkomt.
De berekeningen van de verhouding tussen oppervlak en omtrek van de regelmatige veelhoeken worden hier verder achterwege gelaten.
Het resultaat van deze berekeningen voor de regelmatige veelhoeken is ondergebracht in bijgaande tabel.

Regelmatige veelhoek	Percentage
1 Gelijkzijdige driehoek	60,5
2 Vierkant	78,5
3 Vijfhoek	86,5
4 Zeshoek	90,7
5 Achthoek	94,8
6 Tienhoek	96,7
7 Twaalfhoek	97,7
8 Zeventienhoek	98,8
9 Cirkel	100

Om nog een beter inzicht te krijgen in de verhouding tussen het oppervlak A en de omtrek O van de berekende veelhoeken, zijn de in de tabel genoemde resultaten ondergebracht in bijgaande grafiek. Het nummer bij elke verhouding komt overeen met het nummer in de tabel.