Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

Dit is een gebruikersessay geschreven door Franciscus 25 juli 2009 18:12 (UTC)

Over kwadraten

Het woord kwadraat stamt af van het Latijnse woord quadratus, wat weer afkomstig is van quadrus, wat zoveel betekent als vierkantig maken.
In onze beleving heeft het woord kwadraat de betekenis gekregen van een getal, dat met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dit zou geschreven kunnen worden als
n . n, waarbij n het getal voorstelt dat wordt gekwadrateerd. Men heeft er echter voor gekozen het kwadraat van n weer te geven, als: n².

Kwadraten

De kwadraten 1 ², 2 ², 3 ² en zo voorts, kunnen op een eenvoudige wijze grafisch worden weergegeven, zoals op de afbeeldingen is te zien. Over 1 ² valt niet veel te vertellen, aangezien 1 . 1 = 1. Bij 2 ², 3 ² en zo voorts, wordt dit anders. De twee groene stippen stellen het getal 2 voor. Aangezien 2 ² = 2 . 2 = 4, komen er dus twee rijen met groene stippen bij, en ontstaat er een vierkant.
We komen hiermee weer uit bij quadrua, dus het vierkantig maken van een getal. Bij het getal 3 gaat het precies zo. Het getal 3 wordt weergegeven door drie groene stippen. Aangezien 3 ² = 3 . 3 = 9, komen er dus twee rijen met groene stippen bij. Hetzelfde verhaal gaat op voor elk ander getal, ook halve getallen of breuken. Elk getal kan grafisch worden weergegeven, al is dit wat gecompliceerder dan bij hele getallen.
In verdere betoog zal vanwege de eenvoud, daarom steeds met hele getallen worden gewerkt

Het verband tussen kwadraten

Het blijkt, dat bij de reeks kwadraten, gerekend vanaf 1 ², 2 ², 3 ² en zo voorts, tussen de twee opvolgende kwadraten ( n - 1 ) ² en ( n ) ² een onderling verband bestaat. Tussen twee opvolgende kwadraten blijkt namelijk de volgende betrekking aanwezig te zijn:

n ² = ( n – 1 ) ² + ( n – 1 ) + n

Voor bijvoorbeeld 3 ² ( dus n = 3 ) geldt dus:

3 ² = ( 3 – 1 ) ² + ( 3 – 1 ) + 3 = 4 + 2 + 3 = 9

In afbeelding 1 is dit verband op een grafische manier weergegeven. De term ( n – 1 ) ² - weergegeven in groen - is gelijk aan ( 3 – 1 ) ² = 4.
De term ( n – 1 ) - weergegeven in rood – is gelijk aan ( 3 – 1 ) = 2 en tenslotte is de term n = 3 weergegeven in geel. Het geheel levert de som = 9 op. Ook voor bijvoorbeeld 4 2 gaat de vergelijking op, zoals blijkt uit het volgende. Voor 4 ² ( dus n = 4 ) geldt dus:

4 ² = ( 4 – 1 ) ² + ( 4– 1 ) + 4 = 9 + 3 + 4 = 16

In afbeelding 2 is dit verband op een grafische manier weergegeven. De term ( n – 1 ) ² - weergegeven in groen - is gelijk aan ( 4 – 1 ) ² = 9. De term ( n – 1 ) - weergegeven in rood – is gelijk aan ( 4 – 1 ) = 3 en tenslotte is de term n = 4. Het geheel levert de som = 16 op. Ook als de reeks kwadraten tegengesteld loopt, kan met verandering van - naar + in een vergelijking het verband tussen twee opvolgende kwadraten worden weergegeven, namelijk:

n 2 = ( n + 1 ) 2 - ( n + 1 ) - n Toegepast op de termen 3 en 4 volgt hieruit:

3 2 = ( 3 + 1 ) 2 - ( 3 + 1 ) - 3 = 16 – 4 – 3 = 9 Overal verder in de reeks kwadraten blijkt de relatie met het voorgaande getal aanwezig te zijn. Neem als willekeurig voorbeeld : 212.

21 2 = ( 21 – 1 )2 + (21– 1 ) + 21 = 400 + 20 + 21 = 441

en neergaand:

20 2 = (1 + 20)2 – (1 + 20) – 20 = 441 – 21 – 20 = 400

Tussenliggende kwadraten

Er blijken nog meer verbanden te bestaan. Als bijvoorbeeld de reeks kwadraten met een interval van twee getallen - gerekend vanaf 12, 32 , 52 enz., of 22, 42, 62 enz. - worden bestudeerd, dan blijkt ook hier een onderlinge betrekking te bestaan. Deze betrekking voor de reeks in de stijgende lijn wordt als volgt uitgedrukt:

n2 = ( n – 2 ) 2 + 2 ( n – 2 ) + 2 n ( 3 )

Als dit wordt toegepast op bijvoorbeeld het getal 5, dan wordt dit:

5 2 = ( 5 – 2 )2 + 2 ( 5 – 2 ) + 2 . 5

wat dus is :  

52 = 32 + 2 . 3 + 2 . 5 = 25

Ook in afbeelding 3 is dit verband op een grafische manier weergegeven. De term ( n – 2 )2 - weergegeven in groen - is gelijk aan ( 5 – 2 )2 = 9. De term 2 ( n – 1 ) - weergegeven in rood – is gelijk aan 2 ( 5 – 2 ) = 6 en tenslotte is de term 2 n = 10. Het geheel levert de som = 25 op. Als het getal 6 wordt genomen, dan levert dat op:

6 2 = ( 6– 2 )2 + 2 ( 6– 2 ) + 2 . 6

wat dus is :

62 = 42 + 2 . 4 + 2 . 6 = 36

Voor de teruggaande reeks kwadraten wordt na aanpassing de formule aldus:

n2 = ( n + 2 ) 2 - 2 ( n + 2 ) - 2 n. ( 4 )

Voor het kwadraat van 4 levert dit op:

42 = ( 4 + 2 ) 2 - 2 ( 4 + 2 ) - 2 . 4 = 36 -12 – 8 = 16

Algemene regel

Bij verder bestuderen van het verband tussen de kwadraten in stijgende lijn, kan een algemene formule worden opgesteld, en wel deze :

n 2 = ( n – n’ ) 2 + n’ ( n – n’ ) + n . n’ ( 5 )

waarbij n’ het vergelijkende kwadraat is. Bij kwadraten in neergaande lijn geldt dan de afgeleide van deze formule, namelijk:

n 2 = ( n + n’ ) 2 - n’ ( n + n’ ) - n . n’ ( 6 )

Toegepast op de opeenvolgende kwadraten met de kwadraten van 5 en 6 wordt dit:

6 2  = ( 6 – 5 ) 2  + 5 ( 6 – 5 )  +  5 . 6 = 36

of :

5 2 = ( 5 + 6 ) 2 - 6 ( 5 + 6 ) - 6 .5 = 25

Toegepast op de tussenliggende kwadraten 8 en 10, levert dat op:

10 2 = ( 10 – 8 ) 2 + 8 ( 10 – 8 ) + 10 . 8 = 100

of :

8 2 = ( 8 + 10 ) 2 - 10 ( 8 + 10 ) - 8 . 10 = 64

Ook bij grotere intervallen gaat de regel op, zoals bij 7 en 10 of bijvoorbeeld 7 en 20, namelijk:

102 = ( 10 – 7 ) 2 + 7 ( 10 – 7 ) + 7 . 10 = 100

en neergaand:

7 2 = ( 7 + 10 ) 2 – 10 ( 7 + 10 ) – 7 . 10 = 49

Bij 7 en 20 wordt dit:

202 = ( 20 – 7 )2 + ( 20 – 7 ) + 20 . 7 = 400

en neergaand:

7 2 = ( 7 + 20 ) 2 – 20 ( 7 + 20 ) – 7 . 20 = 49

Eindconclusie

Het vaststellen van het onderlinge verband tussen twee kwadraten is zuiver door nieuwsgierigheid ingegeven, en levert geen oplossing voor een bestaand probleem. Een bijkomende verdienste die uit dit soort overpeinzingen overblijft, is dat de reeks