Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
rel=nofollow

Gebruiker:Franciscus/kladblok: verschil tussen versies

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 157: Regel 157:
Ook de hoeken van '''''90<sup> 0</sup>''''' oplopend tot '''''360<sup> 0</sup>''''', kunnen worden bepaald. In '''''Tabel II''''' is dit op overzichtelijke wijze voor '''''sin α en cos α '''''uitgevoerd.
Ook de hoeken van '''''90<sup> 0</sup>''''' oplopend tot '''''360<sup> 0</sup>''''', kunnen worden bepaald. In '''''Tabel II''''' is dit op overzichtelijke wijze voor '''''sin α en cos α '''''uitgevoerd.
[[Afbeelding:Sinus- en cosinuslijn.jpg|550px|right]]
[[Afbeelding:Sinus- en cosinuslijn.jpg|550px|right]]
In bijgaande afbeeldingen van de sinuslijn en de cosinuslijn, komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle waarden van sinus en cosinus in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn worden gevormd.
==Rekenvoorbeelden ( 2 )==
==Rekenvoorbeelden ( 2 )==
::'''''Rekenvoorbeeld 3'''''
::'''''Rekenvoorbeeld 3'''''

Versie van 8 sep 2009 15:04

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925
rel=nofollow
>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >


Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)







  • sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5
Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:
  • AC = √ ( AB ) 2 – ( BC ) 2 = √ ( AB ) 2 – ( ½ AB ) 2 = √ ¾ (AB) 2 = ½ AB√3
Hieruit volgt dan :
  • cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )
en :
  • tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577



Rondom de cirkel ( 2 )

Goniometrische verhoudingen

Goniometrische verhoudingen worden toegepast om bij vraagstukken uit de diverse vakgebieden als de wiskunde, de elektrotechniek en andere disciplines wiskundige berekeningen te kunnen maken.
In de verhandeling worden deze goniometrische verhoudingen uiteengezet en worden rekenvoorbeelden gegeven.

Basisbegrippen

De afgebeelde rechthoekige driehoek ABC bevat een aantal goniometrische verhoudingen, die ongeacht de afmetingen van de zijden van de driehoek geldig zijn. Deze goniometrische verhoudingen dienen onder meer om de hoeken van de driehoek te bepalen, maar worden ook in andere disciplines toegepast.
De eerste en meest bekende verhouding wordt aangeduid met de sinus van de hoek α meestal afgekort tot sin α.
De sinus van een hoek α wordt als volgt omschreven:

  • sin α = overliggende rechthoekszijde / schuine zijde = BC / AB.

De tweede goniometrische verhouding – cosinus α ( cos α ) - wordt als volgt omschreven:

  • cos α = aanliggende rechthoekszijde / schuine zijde = AC / AB.

Er zijn nog twee goniometrische verhoudingen aan te wijzen, namelijk tangens α ( tan α ) en cotangens α ( cotan α ). Deze twee verhoudingen worden als volgt omschreven:.

  • tan α = overliggende rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde = BC / AC
en:
  • cotan α = aanliggende rechthoekszijde / overliggende rechthoekszijde = AC / BC.

Behalve de vier genoemde verhoudingen, zijn er nog twee goniometrsiche verhoudingen bekend, namelijk secans α ( sec α ) en cosecans α ( cosec α ) .
Aangezien deze twee verhoudingen zelden worden gebruikt, zullen ze in deze verhandeling verder niet worden behandeld

Rekenvoorbeelden ( 1 )

Rekenvoorbeeld 1
In de eerder afgebeelde driehoek ABC hebben de zijden de volgende afmetingen:
  • AB = 5 cm
  • AC = 4 cm
  • BC = 3 cm
Hieruit volgt :
  • sin α = BC / AB = 0,6
  • cos α = AC / AB = 0,8
  • tg α = BC / AC = 0,75
  • cotg α = AC / BC = 1,333
In dit voorbeeld werd nog met getallen gewerkt. In het andere voorbeeld zullen de getallen worden weggelaten, zodat een meer algemener beeld ontstaat. Verder wordt ook de berekening van de cotg niet meer uitgevoerd.
Rekenvoorbeeld 2
De driehoek ABC in bijgaande afbeelding – als helft van een gelijkzijdige driehoek - heeft de volgende hoeken :
  • hoek α = 30 0
  • hoek γ = 90 0
Aangezien in een driehoek de som van de hoeken 180 0bedraagt, volgt hieruit, dat hoek β = 60 0.
Aangetoond werd, dat de driehoek de helft is van een gelijkzijdige driehoek, zodat zijde BC = ½ AB.
Hoek Sinus Cosinus Tangens
00 0 1 0
300 ½ ½√3 ½√3
450 ½ √2 ½ √2 1
600 ½√3 ½ √3
900 1 0 ± ∞

Tabel I. Goniometrische verhoudingen van enkele hoeken

Hoek Sinus Cosinus
900 + α cos α - sin α
1800 - α sin α - cos α
1800 + α - sin α - cos α
2700 - α - cos α - sin α
2700 + α - cos α sin α
3600 - α - sin α cos α
3600 + α sin α cos α
Tabel II. Goniometrische verhoudingen voor hoeken van 90 0tot 360 0

Verdere afleidingen

Op dezelfde wijze als in Rekenvoorbeeld 2, kunnen op eenvoudige wijze de goniometrische verhoudingen worden afgeleid van hoek α = 60 0, hoek α = 45 0, hoek α = 90 0 en 0 0. De resultaten hiervan zijn ondergebracht in Tabel I.
Het zal duidelijk zijn, dat men van alle hoeken van 0 0 tot 90 0de goniometrische verhoudingen heeft berekend en daar tabellen van heeft gemaakt. Deze staan in alle handboeken over goniometrie vermeld. In deze tabellen zijn meestal ook de verhoudingen vermeld van de hoeken die met een hoek van 10 minuten opklimmen. Het is namelijk zó, dat 1 0 kan worden onderverdeeld in minuten en seconden, en wel als volgt.

  • 1 0 = 60 minuten ( 60' )

en

  • 1' = 60 seconden ( 60" )

Op de meeste calculators kunnen goniometrische functies worden gevonden voor alle hoeken, behalve voor hoeken die naast graden ook nog in minuten of seconden zijn gegegeven. Met een ' trucje ' lukt dit echter wel, door van de minuten en seconden graden te maken. Dit gaat als volgt:

  • Gevraagd de sinus van hoek α = 32 018'44".

Dit levert op :

  • sin α = sin [ 32 0 + ( 18 + 44 ) / 60 ) / 60 ] = sin 32,3122 0 = 0,5345

Ook de hoeken van 90 0 oplopend tot 360 0, kunnen worden bepaald. In Tabel II is dit op overzichtelijke wijze voor sin α en cos α uitgevoerd.

In bijgaande afbeeldingen van de sinuslijn en de cosinuslijn, komt nog beter tot uitdrukking, hoe alle waarden van sinus en cosinus in een vloeiende gebogen lijn tot een sinus- of cosinuslijn worden gevormd.

Rekenvoorbeelden ( 2 )

Rekenvoorbeeld 3
De sinus van een hoek van 1200 wordt als volgt berekend:
  • Sinus 1200 = sin 900+ α = cos α = cos 300 = ½√3


Rekenvoorbeeld 4
De cosinus van een hoek van 3000 wordt als volgt berekend:
  • Cosinus 3000 = cos 3600- α = cos α = cos 600 = ½