|
|
| Regel 109: |
Regel 109: |
| * '''Pulcinella''' | | * '''Pulcinella''' |
| * '''Scaramouche''' | | * '''Scaramouche''' |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| =Logaritmen en exponentiële functies=
| |
| ==Machtsverheffen==
| |
| In [[Rekenkunde ( 3 )]] wordt het onderwerp '''Machtsverheffen''' behandeld.
| |
| <br/>Hierbij wordt het volgende gesteld:
| |
| :*'''Bij het machtsverheffen wordt een getal één, twee of meer keren met zichzelf vermenigvuldigd, waarbij de volgende schrijfwijze wordt gehanteerd:'''
| |
| <table width="40%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''10 <sup>1</sup> = 1 • 10 = 10'''
| |
| <br/>'''10 <sup>2</sup> = 10 • 10 = 100'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/> '''''Voorbeeld 1'''''
| |
| <table width="80%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| Als het getal '''5''' een drietal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dus:
| |
| <br/>'''5 • 5 • 5''', dan wordt dit genoteerd als: '''5<sup> 3</sup>'''
| |
| <br/>Deze vorm wordt uitgesproken als: '''5 tot de derde'''
| |
| <br/>Het cijfer '''3''' – '''de exponent''' - in de vorm '''5<sup>3</sup>''' geeft aan hoeveel keer
| |
| <br/>het getal '''5''' – '''het grondtal''' – met zichzelf vermenigvuldigd moet worden.
| |
| In dit geval is de uitkomst dus:
| |
| <br/> '''5 • 5 • 5 = 125'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| :*'''Als machten moeten worden vermenigvuldigd met andere machten of worden gedeeld door andere machten die hetzelfde grondtal hebben, dan moeten de exponenten van die machten bij elkaar worden opgeteld of worden afgetrokken'''
| |
| <table width="80%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''10 <sup>1</sup> • 10 <sup>1</sup> kan worden geschreven als : 10 <sup>1+1</sup> = 10<sup>2</sup> = 10 • 10 = 100'''
| |
| '''<br/>10 <sup>1</sup> • 10 <sup>2</sup> kan worden geschreven als : 10 <sup>1+2</sup> = 10 <sup>3</sup> = 10 • 100 = 1000'''
| |
| '''<br/>10 <sup>1</sup> • 10 <sup>-1</sup> kan worden geschreven als : 10 <sup>1-1</sup> = 10 <sup>0</sup> = 10 • 0,1 = 1'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Exponenten==
| |
| Het ligt zeer voor de hand te veronderstellen, dat tussen '''10 <sup> 0</sup>''' en '''10 <sup>1</sup>''' of bijvoorbeeld tussen '''10 <sup>1</sup>''' en '''10 <sup>2</sup>''' ook machten van 10 liggen die een ander getal dan '''1, 10''' of '''100''' zouden kunnen opleveren. Dit blijkt inderdaad het geval te zijn.
| |
| <br/>In [[Rekenkunde ( 3 )]] wordt het onderwerp '''Worteltrekken''' behandeld. De ( vierkants )wortel uit bijvoorbeeld '''10''' wordt aldus genoteerd:
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''√ 10 = 3,1622'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| <table width="100%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''Een andere schrijfwijze voor de wortel uit 10 is 10 <sup> 1/2</sup> = 10<sup> 0,5</sup> wat hetzelfde oplevert, namelijk 3,1622'''
| |
| <br/>'''Op dezelfde manier kan elk getal worden uitgedrukt met het getal 10 met een exponent'''
| |
| <br/>'''Zo levert de exponent 0,3010 het getal 2 op, aldus 10<sup> 0,30101</sup> = 2, of bijvoorbeeld 10<sup> 0,6900</sup> = 5'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Om elk getal in een exponent uit te kunnen drukken, zijn voor alle getallen tussen '''1''' en '''99''' tabellen opgesteld, die deze notering mogelijk maken.
| |
| <br/>Men noemt hierbij het getal '''10''' het '''grondtal''', hoewel hiervoor ook een ander getal zou kunnen worden gekozen. De exponent van de macht wordt hier '''mantisse''' genoemd.
| |
| Voor getallen '''<''' '''10''' wordt een '''0''' vóór de mantisse geplaatst. Voor getallen '''>''' '''10''' komt vóór de mantisse een '''1''' te staan, en bij getallen tussen '''100''' ( = '''10 <sup>2</sup>''' ) en '''999''' plaatst men een '''2''' vóór de mantisse. Men noemt deze getallen de '''wijzer''' van een logaritme. Op die manier is het mogelijk de logaritme van elk denkbaar getal met een wijzer en een exponent vast te leggen.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Tabel van mantissen'''''
| |
| {| {{prettytable}}
| |
| |-
| |
| ! Getal
| |
| ! 0
| |
| ! 1
| |
| ! 2
| |
| ! 3
| |
| ! 4
| |
| ! 5
| |
| ! 6
| |
| ! 7
| |
| ! 8
| |
| ! 9
| |
| |-
| |
| |''' 0 ''' ||
| |
| <span style="font-size:150%;">
| |
| <font color=black>
| |
| - ∞
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| ||'''0000'''||'''3010''' ||'''4771'''||'''6021'''||'''6090''' ||
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=red>
| |
| '''7782'''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| ||'''8451'''|| '''9031''' ||''' 9542'''
| |
| |-
| |
| |''' 1''' ||'''0000''' || '''0414''' ||
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=red>
| |
| '''0792'''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| || '''1139''' || '''1461''' || '''1761''' || '''2041''' || '''2304''' ||''' 2553''' ||'''2788'''
| |
| |-
| |
| | '''2''' || '''3010''' ||''' 3222''' || '''3424''' ||''' 3617''' || '''3802''' || '''3979''' || '''4150''' || '''4314''' || '''4472''' ||''' 4624'''
| |
| |-
| |
| | '''3''' ||''' 4771''' || '''4914''' || '''5051''' || '''5185''' || '''5315''' || '''5441''' || '''5563''' ||''' 5682''' || '''5798''' ||''' 5911'''
| |
| |-
| |
| |''' 4''' || '''6021''' ||'''6128''' ||'''6232'''|| '''6335''' ||'''6435'''||'''6532'''||'''6628'''||'''6721'''||'''6812'''||'''6902'''
| |
| |-
| |
| |''' 5''' ||'''6990'''||'''7076'''||'''7160'''||'''7243'''||'''7324'''||'''7404'''||'''7482'''||'''7559'''||'''7634'''||'''7709'''||
| |
| |-
| |
| ||'''enz → t/m 99'''
| |
| |}
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 2'''''
| |
| <table width="90%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''De mantisse van het getal 6 = 0,7782 → 10 <sup>
| |
| <span style="font-size:120%;">
| |
| <font color=red>
| |
| 0,7782
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </sup> = '''6'''
| |
| <br/>'''De mantisse van het getal 12 = 1,0792 → 10 <sup>
| |
| <span style="font-size:120%;">
| |
| <font color=red>
| |
| 1,0792
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </sup> = '''12'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>Tegenwoordig wordt er niet meer zo uitgebreid gebruik gemaakt van tabellen maar meer van ( wetenschappelijke ) calculators. Ondanks het gemak dat we al lange tijd van deze hulpmiddelen hebben, blijkt het – zeker voor wat de wat ingewikkelde problemen - nog steeds noodzakelijk inzicht te hebben in de basiskennis van de logaritmen, aangezien zonder deze kennis niet wordt begrepen hoe logaritmen werken.
| |
| ==Definitie==
| |
| Het blijkt dat - met wat hiervoor werd uiteengezet - een definitie is te geven van wat een '''logaritme''' van een getal is.
| |
| <table width="80%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=red>
| |
| '''Een logaritme van een getal ''y'' is de exponent van de macht ''x'' waartoe het grondtal moet worden gebracht om het getal ''y'' te krijgen.'''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>Als grondtal wordt – zoals boven werd uitgevoerd - als regel het getal '''10''' genomen. Hieruit volgt dan:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :* '''''y = 10 <sup>x</sup>'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| waarbij '''x''' de exponent ( mantisse ) is. Deze vorm kan ook op een andere manier worden geschreven, namelijk:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :* '''''x = <sup>10</sup> log y'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| waarbij '''log''' de afkorting van de logaritme van het getal '''y''' voortelt.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 3'''''
| |
| <table width="80%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''De logaritme van het getal 8, is te schrijven als: 8 = 10 <sup>x</sup> , en x = <sup>10</sup> log 8'''
| |
| <br/>'''Uit de genoemde tabel wordt voor de mantisse x gevonden: 0,9031, dus 8 = 10 <sup>0,9031</sup>'''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>Voor de goede orde zou eigenlijk vóór de logaritme steeds de exponent '''10''' moeten worden genoteerd,
| |
| <br/>dus '''<sup>10</sup> log a'''. In de praktijk laat men voor het gemak meestal de aanduiding '''10''' vóór de logaritme weg.
| |
| ==Briggse en natuurlijke logaritmen==
| |
| De tot nu toe gehanteerde logaritmen - met als grondtal '''10''' - worden ook wel ''Briggse'' logaritmen genoemd, naar de wiskundige ''Henry Briggs''. Naast deze logaritmen bestaat ook de natuurlijke of ''Neperse'' logaritme met als grondtal '''e''', naar de wiskundige John Napier ( Neper ), waarbij '''e''' = '''2,7182818'''.......
| |
| <br/>De notatie voor de Briggse logaritmen is - zoals al uiteengezet - als volgt:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''<sup>10</sup> log x = log x'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| <br/>De notatie voor de natuurlijke logaritme is als volgt:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''<sup>e</sup> log x = ln x'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| Om Briggse logaritmen naar de natuurlijke logaritmen te kunnen omrekenen, geldt:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''log x = 0,4343... ln x'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| en omgekeerd:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''ln x = 2,3026.... log x'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| ==Formules==
| |
| Algemeen gelden de volgende formules:
| |
| <span style="font-size:130%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :*'''''log a • b = log a + log b'''''
| |
| :*'''''log a : b = log a - log b'''''
| |
| :*'''''log <sup>n</sup>√ a = 1/n log a'''''
| |
| :*'''''log a<sup> n</sup> = n log a'''''
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 3'''''
| |
| <table width="100%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''In de vorm: log a • b = log a + log b, wordt voor a en b ingevuld: log 3 • 4 = log 3 + log 4 '''''
| |
| <br/>'''''Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 3 = 0,4771 en log 4 = 0,6021'''''
| |
| <br/>'''''Voor log 3 • 4 = 12 geldt: 1,0792, wat precies overeenkomt met de som van log 3 = 0,4771 en log 4 = 0,6021'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 4'''''
| |
| <table width="100%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''In de vorm: log a : b = log a - log b, wordt voor a en b ingevuld: log 8 : 4 = log 8 - log 4 '''''
| |
| <br/>'''''Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 8 = 0,9031 en log 4 = 0,6021'''''
| |
| <br/>'''''Voor log 8 : 4 = 2 geldt: 0,3010, wat precies overeenkomt met het verschil van log 8 = 0,9031 en log 4 = 0,6021'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 5'''''
| |
| <table width="100%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''In de vorm: log <sup>n</sup>√ a = 1/n log a wordt voor a en n ingevuld: log √ 9 = 1/2 log 9 ''''' <sup>*)</sup>
| |
| <br/>'''''Uit de tabel van mantissen volgt dan: log 9 = 0,9542, zodat voor log √ 9 = 1/2 log 9 = 0,4771,
| |
| <br/>'''''wat precies overeenkomt met log 3 = 0,4771'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ----------------
| |
| <sup>*)</sup> ''Voor <sup>n</sup>√ a wordt bij een 2<sup>e</sup>machtswortel meestal gewoon √ a geschreven, dus met weglating van de 2 boven het wortelteken.''
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 6'''''
| |
| :*'''''Nagegaan wordt in hoeveel jaar een kapitaal x, uitgezet tegen 5%, zal zijn verdubbeld'''''
| |
| <table width="100%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''Na het eerste jaar is het kapitaal gegroeid tot 1,05 x. In het tweede jaar wordt dit dus ( 1,05 • 1,05 ) x'''''
| |
| <br/>'''''Na n jaar blijkt dan, dat het kapitaal x is gestegen tot 2 x'''''
| |
| <br/>'''''Om dit te berekenen, worden in de vorm : log a<sup> n</sup> = n log a de bijbehorende getallen ingevuld,'''''
| |
| <br/>'''''aldus: log 1,05<sup> n</sup> x = n log 1,05 x = log 2 x. Voor de verdere berekening kan x worden weggelaten'''''
| |
| <br/>'''''Uit de tabel van mantissen volgt dan voor log 2 = 0,3010,'''''
| |
| '''''en na interpolatie : log 1,05 = 0,0212,'''''
| |
| <br/>'''''zodat n = 0,3010/0,0212 = 14,2 jaar = 14 jaar en 2 1/2 maand'''''
| |
| <br/>''''' Dit houdt dus in, dat na 14 jaar en 2 1/2 maand het kapitaal X is verdubbeld'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>In onderstaande grafiek wordt nog duidelijker hoe deze kapitaalstijging in de tijd verloopt. De y-as van de grafiek heeft een ''logaritmische schaal'', waardoor de stijgende lijn van de grafiek een rechte lijn wordt. Goed te zien is, dat na iets meer dan 14 jaar het uitgezette kapitaal is verdubbeld.
| |
| [[Afbeelding:Logaritmische grafiek.jpg|450px|centre|thumb|>>>>>>>>>>>>>>> '''Logaritmische grafiek kapitaalvermeerdering''' <<<<<<<<<<<<<<<<]]
| |
| ==Exponentiële functies==
| |
| Met '''Voorbeeld 6''' over de kapitaalvermeerdering werd met de vorm '''''1,05<sup> n</sup> x''''' al een overstap gemaakt naar de ''exponentiéle functies''.
| |
| <br/>Bij het machtsverheffen is het duidelijk geworden, dat getallen genoteerd kunnen worden met een exponent, zoals
| |
| <br/>'''4<sup> 3</sup> = 4 • 4 • 4 = 64.'''
| |
| <br/>Op dezelfde manier kan een serie getallen worden uitgedrukt in exponenten.
| |
| :*'''''Voorbeeld 7'''''
| |
| De volgende eenvoudige serie getallen begint met '''1''' en wordt vervolgens vermenigvuldigd met '''2''', aldus:
| |
| :* '''''1 • 2 = 2'''''
| |
| :* '''''2 • 2 = 2<sup> 2</sup> = 4'''''
| |
| :* '''''2 • 4 = 2<sup> 3</sup> = 8'''''
| |
| :* dus verder als: '''''2<sup> n</sup>'''''
| |
| <br/>
| |
| <table width="60%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''1''''' <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''2'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| ''''' 4 '''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''8'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''16'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''32'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''64'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''128'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''256'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''512'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''........'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| Zo’n serie kan ook worden opgezet voor het getal '''3''', dus verder als: '''''3<sup> n</sup>'''''
| |
| aldus:
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| <table width="60%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| '''''1''''' <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''3'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''9'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''27'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''81'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''243'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''729'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''2187'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''6561'''''
| |
| <span style="font-size:100%;">
| |
| <font color=white>
| |
| 888
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| '''''........'''''
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>Deze series – met de notatie '''''2<sup> n</sup>''''' en '''''3<sup> n</sup>''''' - kunnen worden opgezet met verschillende exponenten, en gelden ook voor alle andere denkbare getallen.
| |
| <br/>Zo’n reeks wordt een '''''exponentiële functie''''' genoemd.
| |
_geschilderd_door_Suzanne_Valadon.jpg)