|
|
| Regel 64: |
Regel 64: |
| |''' 1,618033989''' | | |''' 1,618033989''' |
| |} | | |} |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| =Rekenkunde ( 6 )=
| |
| In [[Rekenkunde ( 5 )]] werden de Breuken behandeld met hun specifieke eigenschappen.
| |
| <br/>In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan:
| |
| :* Samengestelde breuken
| |
| :* Herleiden van breuken naar decimale getallen
| |
| :* Herleiden van decimale getallen naar breuken
| |
| :* Vereenvoudiging van breuken met de Grootste Gemene Deler ( GGD )
| |
| :* Ontbinden in factoren
| |
| :* Vereenvoudiging van breuken met het Kleinste Gemene Veelvoud ( KGV )
| |
| ==Samengestelde breuken==
| |
| Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 1'''''
| |
| <table width="25%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| ::'''<sup> 3</sup> /<sub> 4</sub>'''
| |
| ::------
| |
| ::'''<sup> 5</sup> /<sub> 8</sub>'''
| |
| :*''en'' ''':'''
| |
| ::'''5<sup> 5</sup> /<sub> 6</sub>'''
| |
| ::------
| |
| ::'''5<sup> 1</sup> /<sub> 4</sub>'''
| |
| </font></span>
| |
| <br/></td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Deze samengestelde breuken kunnen door deling worden herleid tot gewone breuken.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 2'''''
| |
| <table width="39%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| :'''<sup> 3</sup> /<sub> 4</sub> '''
| |
| :------- = '''<sup> 3</sup> /<sub> 4</sub> : <sup> 5</sup> /<sub> 8</sub> = <sup> 3</sup> /<sub> 4</sub> • <sup> 8</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| :'''<sup> 5</sup> /<sub> 8</sub> '''
| |
| :*''Na vereenvoudiging wordt dit :''
| |
| <br/>
| |
| ::''' 3 • <sup> 2</sup> /<sub> 5</sub> = <sup> 6</sup> /<sub> 5</sub> = 1<sup> 1</sup> /<sub> 5</sub> '''
| |
| </font></span>
| |
| <br/></td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Door de '''2<sup> e</sup>''' breuk om te keren, wordt de deling een vermenigvuldiging!
| |
| <br/>
| |
| '''''Voorbeeld 3'''''
| |
| <table width="39%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| :'''5<sup> 5</sup> /<sub> 6</sub> '''
| |
| :-------- = '''<sup> 35</sup> /<sub> 6</sub> : <sup> 21</sup> /<sub> 4</sub> = <sup> 35</sup> /<sub> 6</sub> • <sup> 4</sup> /<sub> 21</sub>'''
| |
| :'''5<sup> 1</sup> /<sub> 4</sub> '''
| |
| :*''Na vereenvoudiging wordt dit :''
| |
| <br/>
| |
| ::''' <sup> 5</sup> /<sub> 3</sub> • <sup> 2</sup> /<sub> 3</sub> = <sup> 10</sup> /<sub> 9</sub> = 1<sup> 1</sup> /<sub> 9</sub> '''
| |
| </font></span>
| |
| <br/></td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Herleiden van breuken naar decimale getallen==
| |
| Sommige breuken kunnen eenvoudig worden herleid naar decimale breuken.
| |
| <br/>
| |
| Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 4'''''
| |
| <table width="15%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| '''<sup> 4</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| *''en:''
| |
| '''3<sup> 3</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Uitgewerkt geeft dit:
| |
| <table width="48%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| '''<sup> 4</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| *''Vermenigvuldig teller en noemer met'' ''' 2''' '':''
| |
| <br/>'''<sup> 8</sup> /<sub> 10</sub> = 0,8'''
| |
| </font></span>
| |
| <br/></td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| En ook:
| |
| <table width="48%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;"><font color=black>
| |
| '''3<sup> 3</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| *''Vermenigvuldig teller en noemer met'' ''' 2''' '':''
| |
| <br/>'''3<sup> 6</sup> /<sub> 10</sub> = 3,6'''
| |
| </font></span>
| |
| <br/></td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Herleiden van decimale getallen naar breuken==
| |
| Sommige decimale getallen kunnen eenvoudig worden herleid naar breuken.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 5'''''
| |
| <table width="38%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :'''7,5 = 7<sup> 5</sup> /<sub> 10</sub> = 7<sup> 1</sup> /<sub> 2</sub>'''
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 6'''''
| |
| <table width="38%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| '''8,225 = 8<sup> 225</sup> /<sub> 1000</sub>
| |
| <br/>
| |
| <br/>
| |
| *''Teller en noemer delen door'' '''25''' '':''
| |
| <br/>
| |
| '''8<sup> 9</sup> /<sub> 40</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| <br/>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Grootste gemene deler ( GGD )==
| |
| Voor het vereenvoudigen van grote breuken, wordt gebruik gemaakt van de grootste gemene deler.
| |
| Hierbij worden zowel de teller als de noemer door het grootst mogelijke getal gedeeld.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 7'''''
| |
| <table width="52%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| ::'''<sup> 315</sup> /<sub> 420</sub>
| |
| <br/>
| |
| :*''Delen door'' '''5 = <sup> 63</sup> /<sub> 84</sub>'''
| |
| :*''Delen door'' '''3 =<sup> 21</sup> /<sub> 28</sub>'''
| |
| :*''Delen door'' '''7 =<sup> 3</sup> /<sub> 4</sub> = 0,75 '''
| |
| :*''De grootste gemene deler ='' ''' 5 • 3 • 7 = 105'''
| |
| </font></span>
| |
| <br/>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Ontbinden in factoren==
| |
| Alvorens met het ''kleinste gemene veelvoud'' aan de slag te gaan, is het nodig even een uitstapje te maken naar het ontbinden in factoren.
| |
| <br/>Bij het ontbinden in factoren wordt een getal ontleed in de kleinst mogelijke factoren, die alleen door zich zelf deelbaar zijn. Dit worden ook wel ''priemgetallen'' genoemd.
| |
| <br/>De priemgetallen tussen '''1''' en '''20''' zijn :
| |
| :* '''1'''
| |
| :* '''2'''
| |
| :* '''3'''
| |
| :* '''5'''
| |
| :* '''7'''
| |
| :*'''11'''
| |
| :*'''13'''
| |
| :*'''17'''
| |
| :*'''19'''
| |
| '''''Voorbeeld 8'''''
| |
| <table width="30%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :'''150 = 2 • 75'''
| |
| :'''150 = 2 • 3 • 25'''
| |
| :'''150 = 2 • 3 • 5 • 5'''
| |
| :'''150 = 2 • 3 • 5<sup> 2</sup>'''
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Ook zeer grote getallen kunnen worden ontbonden in factoren.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 9'''''
| |
| <table width="30%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :'''8820 = 2 • 4410'''
| |
| :'''8820 = 2 • 2 • 2205'''
| |
| :'''8820 = 2<sup> 2</sup> • 3 • 735'''
| |
| :'''8820 = 2<sup> 2</sup> • 3 • 3 • 245 '''
| |
| :'''8820 = 2<sup> 2</sup> • 3<sup> 2</sup> • 5 • 49'''
| |
| :'''8820 = 2<sup> 2</sup> • 3<sup> 2</sup> • 5 • 7<sup> 2</sup>'''
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Kleinste gemene veelvoud ( KGV )==
| |
| Als een aantal breuken met verschillende noemers moet worden opgeteld, dan moeten deze noemers aan elkaar gelijk worden gemaakt.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 10'''''
| |
| <table width="46%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="center" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| '''<sup> 1</sup> /<sub> 2</sub> + <sup> 2</sup> /<sub> 3</sub> + <sup> 4</sup> /<sub> 5</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| <br/>''Het KGV ='' '''30''', ''zodat'':
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''<sup> 15</sup> /<sub> 30</sub> + <sup> 20</sup> /<sub> 30</sub> + <sup> 24</sup> /<sub> 30</sub> = <sup> 59</sup> /<sub> 30</sub> = 1<sup> 29</sup> /<sub> 30</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| <br/>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Met deze relatief kleine noemers is het vrij eenvoudig het KGV vast te stellen. Anders wordt het, als de noemers groot worden.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 11'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| ::'''<sup> 5</sup> /<sub> 8</sub> - <sup> 3</sup> /<sub> 7</sub> + <sup> 31</sup> /<sub> 120</sub>'''
| |
| :*''De eerste noemer'' '''8''' ''wordt ontbonden in'' : '''2<sup> 3</sup>'''
| |
| :*''De tweede noemer'' '''7''' ''kan niet verder worden ontbonden''
| |
| :*''De derde noemer'' '''120''' ''wordt ontbonden in'' : '''2<sup> 3</sup> • 3 • 5'''
| |
| :*''Het KGV is opgebouwd uit de grootste gevonden elementen '' ''':'''
| |
| ::'''2<sup> 3</sup> • 3 • 5 • 7 = 840'''
| |
| :*''De uitkomst van de breuk wordt nu'' ''':'''
| |
| ::'''<sup> 525</sup> /<sub> 840</sub> - <sup> 315</sup> /<sub> 840</sub> + <sup> 217</sup> /<sub> 840</sub> = <sup> 382</sup> /<sub> 840</sub> = <sup> 191</sup> /<sub> 420</sub>'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
|
| |
|
| |
| =Rekenkunde ( 7 )=
| |
| Het onderwerp Rekenkunde wordt afgesloten met een aantal bijzondere onderwerpen, te weten:
| |
| :* De kenmerken van deelbaarheid van een getal
| |
| :* Worteltrekken door ontbinden in factoren
| |
| :* Procent en promille
| |
| :* Verhoudingen en evenredigheden
| |
| ==Kenmerken van deelbaarheid==
| |
| Aan een getal kan meestal na enige inspanning worden gezien of dit deelbaar is door een priemgetal.
| |
| <br/>Een geheel getal is deelbaar door een ander geheel getal als bij de deling de rest 0 is. Zo is '''35''' deelbaar door '''5''', want '''35 : 5 = 7''' rest '''0'''.
| |
| <br/>Het getal '''38''' is niet deelbaar door '''7''', want '''38 : 7 = 5''' rest '''2'''.
| |
| <br/>Om de deelbaarheid van een geheel getal te kunnen achterhalen, bestaan eenvoudige middelen : de zogeheten
| |
| :* '''kenmerken van deelbaarheid'''.
| |
| Dit nagaan van de deelbaarheid zal zich uitstrekken tot de deelbaarheid van een getal door '''11'''.
| |
| === Deelbaarheid door 2===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''2''', als het laatste cijfer een even cijfer is, namelijk '''0, 2, 4, 6''' of '''8'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 1'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''123456''' ''is deelbaar door'' '''2''' '', want'' '''6''' ''is deelbaar door'' '''2'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Deelbaarheid door 3===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''3''', als de som van de cijfers deelbaar is door '''3'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 2'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''12345''' ''is deelbaar door'' '''3''' '', want'' '''1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15''' ''
| |
| ::::'''15''' ''is deelbaar door'' '''3'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Deelbaarheid door 4===
| |
| :*Voor getallen bestaande uit twee of meer cijfers is de deelbaarheid door '''4''' eenvoudig vast te stellen, als het getal van de laatste twee cijfers deelbaar is door '''4'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 3'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''123456''' ''is deelbaar door'' '''4''', ''want'' '''56''' ''is deelbaar door'' '''4'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Deelbaarheid door 5===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''5''', als het laatste cijfer deelbaar is door '''5'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 4'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''12345''' ''is deelbaar door'' '''5''', ''want het laatste cijfer'' ''' = 5'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| :*Merk op, dat het getal '''12345''' uit '''''Voorbeeld 2''''' zowel deelbaar is door ''' 3''', als door '''5''', zodat het getal
| |
| ::'''12345''' deelbaar is door'' '''15'''
| |
| ===Deelbaarheid door 6===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''6''', als het getal zowel door '''2''' als door '''3''' deelbaar is.
| |
| :* Merk op, dat het getal '''123456''' uit '''''Voorbeeld 1''''', zowel deelbaar is door '''2''' als door '''3''', dus door '''6'''.
| |
| ===Deelbaarheid door 7===
| |
| :*Voor getallen >100 is de deelbaarheid door '''7''', vast te stellen, als het getal, dat wordt verkregen door het laatste cijfer weg te laten en 2 maal af te trekken van het getal gevormd door de overblijvende cijfers.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 5'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''476''' ''is deelbaar door'' '''7''' '', want'' '''47 - 2 • 6 = 35'''
| |
| :: '''35''' ''is deelbaar door'' '''7'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Deelbaarheid door 8===
| |
| :*Voor getallen bestaande uit drie of meer cijfers, is de deelbaarheid door '''8''' eenvoudig vast te stellen, als het getal van de laatste drie cijfers deelbaar is door '''8'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 6'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''123456''' ''is deelbaar door'' '''8''', ''want'' '''456''' ''is deelbaar door'' '''8'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Deelbaarheid door 9===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''9''' , als de som van de cijfers deelbaar is door '''9'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 7'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''44424''' ''is deelbaar door'' '''9''' '', want'' '''4 + 4 + 4 + 2 + 4 = 18''' ''
| |
| ::::'''18''' ''is deelbaar door'' '''9'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| :* Merk op, dat het getal '''44424''' uit '''''Voorbeeld 7''''', zowel deelbaar is door '''9''' als door '''8''', dus door '''72'''.
| |
| ===Deelbaarheid door 10===
| |
| :*Een getal is deelbaar door '''10''', als het laatste getal een '''0''' is.
| |
| ===Deelbaarheid door 11===
| |
| :*Voor getallen '''>100''' is de deelbaarheid van '''11''', vast te stellen, als de som van de cijfers op de oneven plaatsen min de de som van de cijfers op de even plaatsen deelbaar is door '''11'''.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 8'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''Het getal'' '''1617''' ''is deelbaar door'' '''11''' '', want'' '''7 - 1 + 6 - 1 = 11'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Worteltrekken door ontbinden in factoren==
| |
| Soms kan het worteltrekken op een eenvoudiger manier worden uitgevoerd, dan
| |
| is omschreven in [[Rekenkunde ( .. )]].
| |
| <br/>Het blijkt, dat - door gebruik te maken van het ontbinden in factoren - het oplossen van wortelvormen sneller kan verlopen.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 9'''''
| |
| :* '''√ 63504'''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| :'''63504 = 2 • 31752'''
| |
| ::'''63504 = 2 • 2 • 11907'''
| |
| :::'''63504 = 2<sup> 2</sup> • 2 • 15876'''
| |
| ::::'''63504 = 2<sup> 3</sup> • 2 • 7938'''
| |
| :::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 2 • 3969'''
| |
| ::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3 • 1323'''
| |
| :::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3 • 3 • 441'''
| |
| ::::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3<sup> 2</sup> • 3 • 147'''
| |
| :::::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3<sup> 3</sup> • 3 • 49 '''
| |
| ::::::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3<sup> 4</sup> • 7 • 7 '''
| |
| :::::::::::'''63504 = 2<sup> 4</sup> • 3<sup> 4</sup> • 7<sup> 2</sup>'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| :* De vorm '''√ 63504''' is nu teruggebracht tot '''√ 2<sup> 4</sup> • 3<sup> 4</sup> • 7<sup> 2</sup>''' , waarvan de uitkomst dus is :
| |
| :: ''' 2<sup> 2</sup> • 3<sup> 2</sup> • 7 = 4 • 9 • 7 = 252'''
| |
| ==Procent en promille==
| |
| In economische beschouwingen en in elektrotechnische en andere vakgebieden, wordt vaak met procenten ( = percentages ) van getallen gewerkt. Ook promillages komen hierbij aan de orde.
| |
| ===Procent===
| |
| De aanduiding procent ( % ) of percent betekent letterlijk : '''een deel per honderd = <sup> 1</sup> / <sub>100</sub> = 0,01.'''
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 10'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| * '''75%''' ''van'' '''144 = <sup> 3</sup> / <sub> 4</sub>''' ''van'' '''144 = <sup> 3 • 144</sup> / <sub> 4</sub> = 108'''
| |
| <br/>
| |
| </font></span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ===Promille===
| |
| De aanduiding promille ( ‰ ) betekent letterlijk : '''een deel per duizend = <sup> 1</sup> / <sub>1000</sub> = 0,001.'''
| |
| <br/>In de chemie komen promillages vrij geregeld voor.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 11'''''
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| * '''2<sup> 2</sup> /<sub> 3</sub> ‰''' ''van'' '''900 = <sup> 8</sup> /<sub> 3</sub> • <sup> 900</sup> /<sub> 1000</sub> = 2<sup> 2</sup> /<sub> 5</sub> = 2,4'''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Verhoudingen en evenredigheden==
| |
| [[Afbeelding:Verhoudingen.jpg|550px|right]]
| |
| ===Verhoudingen===
| |
| In de afbeeldingen wordt duidelijk gemaakt wat bedoeld wordt met verhoudingen.
| |
| <br/>De verhouding in de 1<sup> e</sup> afbeelding is gelijk aan de verhouding in de 2<sup> e</sup> afbeelding.
| |
| ===Evenredigheden===
| |
| Een evenredigheid geeft de gelijkheid aan van twee verhoudingen.
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 12''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''1 : 3 = 2 : 6'''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| Van deze evenredigheid zijn:
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''1''' ''en'' '''2''' ''de termen van de eerste reden''
| |
| *'''3''' ''en'' '''6''' ''de termen van de tweede reden''
| |
| *'''3''' ''en'' '''2''' ''de middelste termen''
| |
| *'''1''' ''en'' '''6''' ''de buitenste termen''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| ==Eigenschappen==
| |
| ===Gelijkblijvende evenredigheid===
| |
| Als de termen van de eerste reden met eenzelfde getal worden vermenigvuldigd of worden gedeeld, dan verandert dit niets aan de evenredigheid. Hetzelde geldt voor de termen van de tweede reden.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 13''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''1 : 3 = 2 : 6'''
| |
| ::''wordt na vermenigvuldiging met'' '''5 :'''
| |
| *'''1 • 5 : 3 • 5 = 2 : 6'''
| |
| :: ''of na deling door'' '''5 :'''
| |
| *'''<sup> 1</sup> /<sub> 5</sub> : <sup> 3</sup> /<sub> 5</sub> = 2 : 6'''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| Als bij de '''1<sup> e</sup>''' term van de eerste reden de '''1<sup> e</sup>''' term van de tweede reden wordt opgeteld, en '''2<sup> e</sup>''' term van de eerste reden de '''2<sup>''' '''e</sup>''' term van de tweede reden wordt opgeteld, dan verandert dit niets aan de evenredigheid.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 14''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''1 : 3 = 2 : 6'''
| |
| ::''wordt'' ''':'''
| |
| *'''( 1 + 2 ) : ( 3 + 6 ) = 2 : 6'''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| ===Verandering van de evenredigheid===
| |
| Een verandering van de evenredigheid treedt op, als de termen van de eerste reden worden opgeteld, en ook de termen van de tweede reden.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 15''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''1 : 3 = 2 : 6'''
| |
| ::''wordt'' ''':'''
| |
| *'''( 1 + 3 ) : ( 2 + 6 ) = 1 : 2 = 3 : 6 '''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| ===Vierde evenredige===
| |
| Als de buitenste termen van een verhouding met elkaar worden vermenigvuldigd en ook de binnenste termen met elkaar worden vermenigvuldigd, dan is het product daarvan gelijk.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 15''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''3 : 5 = 9 : 15'''
| |
| ::''dit wordt dan'' ''':'''
| |
| *''' 3 • 15 = 45'''
| |
| :: ''en''
| |
| * '''5 • 9 = 45 '''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| Deze eigenschap wordt ook wel de '''hoofdeigenschap''' van de evenredigheden genoemd.
| |
| ===Middelevenredige===
| |
| Bij de middelevenredige zijn de middelste termen aan elkaar gelijk.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 16''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *'''3 : 9 = 9 : 27'''
| |
| ::''dit wordt bij toepassing van de '''4<sup> e</sup>''' evenredige'' ''':'''
| |
| *''' 9 • 9 = 81'''
| |
| :: ''en''
| |
| * '''3 • 27 = 81 '''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| Als bij een vraagstuk de middelste termen niet bekend zijn, dan kunnen deze eenvoudig worden vastgesteld.
| |
| <br/>
| |
| <br/>'''''Voorbeeld 17''''' :
| |
| <table width="66%" border="1">
| |
| <tr>
| |
| <td align="left" bgcolor=#fff7cb>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:125%;">
| |
| <font color=black>
| |
| *''De onbekende middelste termen noemt men'' ''': x'''
| |
| *'''6 : x = x : 150'''
| |
| ::''dit wordt ''':'''
| |
| *''' x<sup> 2</sup> = 6 • 150 = 900'''
| |
| :: ''waardoor'' ''':'''
| |
| * '''x = √ 900 = 30 '''
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| </td>
| |
| </tr>
| |
| </table>
| |
| <br/>
| |
| <span style="font-size:115%;">
| |
| <font color=blue>
| |
| ::Met de invoering van '''X''' als vervanging van een getal, wordt een ander gebied betreden, namelijk de '''Algebra'''.
| |
| ::::::De serie artikelen over '''Rekenkunde''' wordt om die reden hier afgesloten.
| |
| :::Het vak Algebra wordt vaak toegepast bij technische vraagstukken die ingewikkelde beredeneringen
| |
| ::::met zich meebrengen en daardoor vaak tot lange becijferingen met grote getallen leiden.
| |
| ::::Dit is de belangrijkste reden waarom bij Algebra naast cijfers ook letters worden gebruikt.
| |
| <br/>
| |
| </font>
| |
| </span>
| |
| ==Links==
| |
| :*[[Rekenkunde ( 1 )]] : Optellen en aftrekken
| |
| :*[[Rekenkunde ( 2 )]] : Vermenigvuldigen, delen en worteltrekken
| |
| :*[[Rekenkunde ( 3 )]] :
| |
| :*[[Rekenkunde ( 4 )]] :
| |
| :*[[Rekenkunde ( 5 )]] :
| |
| :*[[Rekenkunde ( 6 )]] : Samengestelde breuken, kenmerken van deelbaarheid
| |
| [[Categorie: Rekenen]]
| |
