Gebruiker:Franciscus/kladblok

Deze pagina gebruik ik om nieuwe artikelen even op te bergen en te bewerken, vóórdat ik ze als bijdrage op Wikisage zet. Ook kan ik hier enkele geheugensteuntjes kwijt.
Franciscus 4 feb 2009 14:55 (UTC)

Edward Elgar omstreeks 1925

>> Paul Dukas ( 1865 - 1935 ) >

1. 2 ²/ ₉ + ⁵/ ₉ = 2 ⁷/ ₉

Franciscus 20 jul 2009 13:33 (UTC)

• sin α = BC / AB = ½ AB / AB = 0,5

Voor zijde AC wordt de stelling van Pythagoras toegepast, en wel als volgt:

• AC = √ ( AB ) ² – ( BC ) ² = √ ( AB ) ² – ( ½ AB ) ² = √ ¾ (AB) ² = ½ AB√3

Hieruit volgt dan :

• cos α = AC / AB = ½ AB √ 3 / AB = ½ √ 3 ( = 8,66 )

en :

• tg α = BC / AC = ½ AB / ½ AB√3 = 1/3 . √3 = 0,577

Quotiënt	Φ
1 : 1	1
2 : 1	2
3 : 2	1,5
5 : 3	1,67
8 : 5	1,6
13 : 8	1.62500
89 : 55	1,6181818
610 : 377	1,61537135
4181 : 2584	1,61803405
28657 : 17711	1,61803399
196418 : 121393	1,618033989

Rekenkunde ( 5 )

In Rekenkunde ( 4 ) zijn Decimale getallen behandeld met hun specifieke eigenschappen. Naast de decimale getallen worden echter in de dagelijkse praktijk ook 'gewone' breuken gebruikt.
In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan Breuken, met de bijbehorende bewerkingen.

Breuken

Het getal ¹/ ₃ wordt een breuk genoemd. Dit wordt aanschouwelijk gemaakt door de afbeelding. Het grijs gemaakte gedeelte is ¹/ ₃ deel van de rechthoek, en bij de tweede afbeelding maken de grijze vlakken ²/ ₃ deel van de rechthoek uit.

Optellen en aftrekken

Voorbeeld 1

Als bij ¹/ ₃ het getal ²/ ₃ wordt opgeteld, dan is de afgebeelde rechthoek compleet. Aldus:

1/ 3 + 2/ 3 = 3/ 3 = 1

In Voorbeeld 2 wordt getoond, dat optellen en aftrekken van breuken in één bewerking kunnen voorkomen:

3/ 8 - 5/ 8 + 4/ 8 = 2/ 8 = 1/ 4

Combinaties

Een ander voorbeeld laat zien, dat ook combinaties van hele getallen met breuken kunnen voorkomen.
Voorbeeld 3

3 2/ 9 - 4 5 / 9 + 7 8/ 9

Dit gaat als volgt:

3 - 4 + 7 = 6 2/ 9 - 5/ 9 + 8/ 9 = 5/ 9 6 + 5/ 9 = 6 5/ 9

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Voorbeeld 4

3/ 5 • 3/ 6 = 9/ 30 = 3/ 10

De werkwijze is hier als volgt:

• De bovenste getallen met elkaar vermenigvuldigen ( teller • teller )
• De onderste getallen met elkaar vermenigvuldigen ( noemer • noemer )
• Nagaan of vereenvoudiging van de uitkomst mogelijk is

Een ander voorbeeld laat zien, dat ook combinaties van hele getallen met breuken kunnen voorkomen.
Voorbeeld 5

3 3/ 5 • 4 1 / 6

Om dit op te lossen, wordt als volgt te werk gegaan:

3 3/ 5 = 15/ 5 + 3/ 5 = 18/ 5 4 1/ 6 = 24/ 6 + 1/ 6 = 25/ 6

Door deze bewerking wordt dus:

3 3/ 5 • 4 1 / 6 = 18/ 5 • 25/ 6

• De gevonden vormen opzetten
• Noemers kruislings verwisselen ( uitkomst blijft gelijk )
• Nagaan of verwisselde tellers en noemers door elkaar te delen zijn
• Uitkomsten met elkaar vermenigvuldigen

18/ 5 • 25/ 6 = 18/ 6 • 25/ 5 18 : 6 = 3 25 : 5 = 5 3 • 5 = 15

Een onverwacht resultaat!
Bij het delen van breuken, kan soms de 2 ^e breuk worden omgedraaid en daarna met de 1 ^e breuk worden vermenigvuldigd.
Voorbeeld 6

3/ 4 : 2/ 3 = 3/ 4 • 3/ 2 = 9/ 8 = 1 1/ 8

Ook bij de combinatie van hele getallen met breuken kan soms de 2 ^e breuk worden omgedraaid en daarna met de 1 ^e breuk worden vermenigvuldigd.
Voorbeeld 7

4 3/ 8 : 2 4/ 5 = 35/ 8 : 14/ 5

De teller 35 = 5 • 7 en de noemer 14 = 2 • 7, zodat de vorm kan worden vereenvoudigd tot:

5/ 8 : 2/ 5 = 5/ 8 • 5/ 2 = 25/ 16 25/ 16 = 1 9/ 16

Machtsverheffen en worteltrekken van breuken

Voorbeeld 8

( 2/ 3 ) 3

betekent:

2/ 3 • 2/ 3 • 2/ 3 = 8/ 27

Bij combinatie met een heel getal, wordt een machtsverheffing zó genoteerd :
Voorbeeld 9

( 2 1/ 4 ) 2

Dit wordt dan:

( 9/ 4 ) 2 = 81/ 16 = 5 1/ 16

Bij wortelvormen is de schrijfwijze :
Voorbeeld 10

√ 121 / 49

wat inhoudt:

√ 121 / √ 49 = 11 / 7

Voor samengestelde getallen geldt:
Voorbeeld 11

√ 2 1 / 8

Wat uitgewerkt oplevert:

√ 25 / √ 8 = 5 √ 1 / 8

Deze vorm kan worden omgezet naar :

5 √ 2 / 16 = 5 / 4 √ 2

De vorm :

5 / 4 √ 2

kan eventueel nog verder worden uitgewerkt.

Rekenkunde ( 6 )

In Rekenkunde ( 5 ) werden de Breuken behandeld met hun specifieke eigenschappen.
In dit artikel wordt met de nodige voobeelden aandacht besteed aan:

• Samengestelde breuken
• Herleiden van breuken naar decimale getallen
• Herleiden van decimale getallen naar breuken
• Vereenvoudiging van breuken met de Grootste Gemene Deler ( GGD )
• Ontbinden in factoren
• Vereenvoudiging van breuken met het Kleinste Gemene Veelvoud ( KGV )

Samengestelde breuken

Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 1

3 / 4 ------ 5 / 8 en : 5 5 / 6 ------ 5 1 / 4

Deze samengestelde breuken kunnen door deling worden herleid tot gewone breuken.
Voorbeeld 2

3 / 4 ------- = 3 / 4 : 5 / 8 = 3 / 4 • 8 / 5 5 / 8 Na vereenvoudiging wordt dit : 3 • 2 / 5 = 6 / 5 = 1 1 / 5

Voorbeeld 3

5 5 / 6 -------- = 35 / 6 : 21 / 4 = 35 / 6 • 4 / 21 5 1 / 4 Na vereenvoudiging wordt dit : 5 / 3 • 2 / 3 = 10 / 9 = 1 1 / 9

Herleiden van breuken naar decimale getallen

Sommige breuken kunnen eenvoudig worden herleid naar decimale breuken.
Twee samengestelde breuken zijn te vinden in :
Voorbeeld 4

4 / 5 en: 3 3 / 5

Uitgewerkt geeft dit:

4 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 8 / 10 = 0,8

En ook:

3 3 / 5 Vermenigvuldig teller en noemer met 2 : 3 6 / 10 = 3,6

Herleiden van decimale getallen naar breuken

Sommige decimale getallen kunnen eenvoudig worden herleid naar breuken.
Voorbeeld 5

7,5 = 7 5 / 10 = 7 1 / 2

Voorbeeld 6

8,225 = 8 225 / 1000 Teller en noemer delen door 25 : 8 9 / 40

Grootste gemene deler ( GGD )

Voor het vereenvoudigen van grote breuken, wordt gebruik gemaakt van de grootste gemene deler. Hierbij worden zowel de teller als de noemer door het grootst mogelijke getal gedeeld.
Voorbeeld 7

315 / 420 Delen door 5 = 63 / 84 Delen door 3 = 21 / 28 Delen door 7 = 3 / 4 = 0,75 De grootste gemene deler = 5 • 3 • 7 = 105

Ontbinden in factoren

Alvorens met het kleinste gemene veelvoud aan de slag te gaan, is het nodig even een uitstapje te maken naar het ontbinden in factoren.
Bij het ontbinden in factoren wordt een getal ontleed in de kleinst mogelijke factoren, die alleen door zich zelf deelbaar zijn. Dit worden ook wel priemgetallen genoemd.
De priemgetallen tussen 1 en 20 zijn :

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19

Voorbeeld 8

150 = 2 • 75 150 = 2 • 3 • 25 150 = 2 • 3 • 5 • 5 150 = 2 • 3 • 5 2

Ook zeer grote getallen kunnen worden ontbonden in factoren.
Voorbeeld 9

8820 = 2 • 4410 8820 = 2 • 2 • 2205 8820 = 2 2 • 3 • 735 8820 = 2 2 • 3 • 3 • 245 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 49 8820 = 2 2 • 3 2 • 5 • 7 2

Kleinste gemene veelvoud ( KGV )

Als een aantal breuken met verschillende noemers moet worden opgeteld, dan moeten deze noemers aan elkaar gelijk worden gemaakt.
Voorbeeld 10

1 / 2 + 2 / 3 + 4 / 5 Het KGV = 30, zodat: 15 / 30 + 20 / 30 + 24 / 30 = 59 / 30 = 1 29 / 30

Met deze relatief kleine noemers is het vrij eenvoudig het KGV vast te stellen. Anders wordt het, als de noemers groot worden.
Voorbeeld 11

5 / 8 - 3 / 7 + 31 / 120 De eerste noemer 8 wordt ontbonden in : 2 3 De tweede noemer 7 kan niet verder worden ontbonden De derde noemer 120 wordt ontbonden in : 2 3 • 3 • 5 Het KGV is opgebouwd uit de grootste gevonden elementen : 2 3 • 3 • 5 • 7 = 840 De uitkomst van de breuk wordt nu : 525 / 840 - 315 / 840 + 217 / 840 = 382 / 840 = 191 / 420

Kenmerken van deelbaarheid

Aan een getal kan meestal worden gezien of dit deelbaar is door een priemgetal. Om de deelbaarheid van een getal om de deelbaarheid van een getal te kunnen achterhalen bestaan eenvoudige middelen : de zogemaamde kenmerken van deelbaarheid. Voorwaarde hierbij is, dat het resultaat van de deling een geheel getal oplevert.

• Een getal is door 2 deelbaar, als het laatste cijfer deelbaar is door 2.

Voorbeeld 12

Het getal 123456 is deelbaar door 2 , want 6 is deelbaar door 2