Topologie

De topologische gelijkheid van een kopje en een ring.

De topologie (Grieks topos, "plaats," en logos, "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte, die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan in de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen, zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte wordt samengesteld, zoals samenhang en georiënteerdheid.

Het woord topologie wordt zowel gebruikt om het studiegebied zelf aan te duiden, als voor de familie van verzamelingen die bepaalde eigenschappen beschrijft die worden gebruikt om een topologische ruimte te definiëren (het basisobject van de topologie). Van bijzonder belang in de studie van de topologie zijn de vervormingen die homeomorfismen worden genoemd. Informeel kunnen deze functies worden gezien als functie de ruimte uitrekken zonder deze echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken. Een meer abstracte notie van een vervorming is een homotopische equivalentie, een begrip dat ook een fundamentele rol speelt.

Toen de discipline aan het eind van de 19de eeuw ontstond, noemde men de topologie aanvankelijk geometria situs (Latijn: meetkunde van plaats) en analysis situs (Latijn: analyse van plaats). Topologie is intussen een grote tak van de wiskunde, die op zijn beurt weer vele deelgebieden kent. Van ongeveer 1925 tot 1975 kende de topologie een bloeiperiode en was zij een belangrijk groeigebied in de wiskunde.

De meest basale en traditionele verdeling binnen de topologie is de driedeling tussen

• de point-set topologie, die de fundamenten van de topologie neerzet en concepten zoals compactheid en samenhangendheid onderzoekt;
• de algebraïsche topologie, die algemeen gesteld probeert om de graden van samenhang te meten, en die daar gebruik maakt van algebraïsche constructies, zoals homotopiegroepen en homologie en tenslotte
• de meetkundige topologie, die in de eerste plaats variëteiten en hun inbedding in andere variëteiten bestudeerd.

Opgemerkt dient echter te worden dat sommige van de meest actieve gebieden, zoals laag-dimensionale topologie niet goed in deze opdeling passen.

In allerlei andere deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde en algebra, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van ideeën en stellingen uit de topologie. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer heeft in de beginperiode van de topologie een belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied.

Inleiding

In de topologie zijn de objecten die bestudeerd worden topologische ruimten. Een topologische ruimte is een verzameling X voorzien van een collectie deelverzamelingen van X, open verzamelingen geheten, die aan een aantal axioma's voldoen. Deze collectie wordt overigens ook de topologie van X genoemd. Verder worden continue afbeeldingen gedefinieerd, evenals begrippen als compactheid en samenhangendheid. Een ander belangrijk begrip is dat van een homeomorfisme; dit is een continue afbeelding die inverteerbaar (bijectief) is en waarvan de inverse ook continu is. Als er tussen twee topologische ruimten X en Y een homeomorfisme bestaat, zijn X en Y 'hetzelfde' in de zin dat ze tot elkaar vervormd kunnen worden zonder scheuren of plakken.

De algemene topologie bestudeert elementaire eigenschappen van topologische ruimten en de afbeeldingen daartussen. De algebraïsche topologie bouwt hierop voort door technieken uit de algebra toe te passen op topologische ruimten, wat leidt tot begrippen als de fundamentaalgroep en homologiegroepen van een topologische ruimte.

Geschiedenis

De tak van de wiskunde die nu topologie wordt genoemd begint met een onderzoek naar een aantal openstaande vragen in de meetkunde. Eulers publicatie uit 1736 over de Zeven bruggen van Koningsbergen wordt als één van eerste topologische resultaten gezien.

De term "topologie" werd in 1847 als eerste in de Duitse taal geïntroduceerd door Johann Benedict Listing in zijn Vorstudien zur Topologie (Vandenhoeck en Ruprecht, Göttingen, pag. 67, 1848). Maar al in de tien jaar daarvoor gebruikte Listing het woord, "Topologie", in zijn private correspondentie. Het woord werd in het in 1883 in het Engels geïntroduceerd in het blad Nature om een onderscheid te kunnen maken tussen "kwalitatieve meetkunde" en de "normale meetkunde, waarin kwantitatieve relaties worden behandeld". De term topologist in de zin van iemand die gespecialiseerd in de topologie werd in 1905 in het blad Spectator gebruikt.

De moderne topologie is sterk verweven met de ideeën uit de verzamelingenleer, zoals deze in het laatste gedeelte van de 19de eeuw door Georg Cantor werden ontwikkeld. Cantor onderzocht tevens puntverzamelingen in de Euclidische ruimte, als een onderdeel van zijn studie naar Fourierreeksen.

In 1895 publiceerde Henri Poincaré zijn werk, Analysis Situs. In dit werk introduceerde hij de concepten van homotopie en homologie, die beiden nu als onderdelen van de algebraïsche topologie worden beschouwd..

Maurice Fréchet verenigde het werk over functie dat was uitgevoerd door Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli en anderen. In 1906 introduceerde hij het begrip metrische ruimte. Een metrische ruimte wordt nu gezien als een speciaal geval van een algemene topologische ruimte. In 1914 voerde Felix Hausdorff de term "topologische ruimte" in. Tevens gaf hij de definitie van nu een Hausdorff-ruimte wordt genoemd. In het huidige definitie, die in 1922 werd gegeven door Kazimierz Kuratowski, is een topologische ruimte een "lichte" veralgemening van een Hausdorff-ruimte.

Voor verdere ontwikkelingen, zie point-set topologie en algebraïsche topologie.

Voorbeelden

Zie het artikel over topologische ruimten voor voorbeelden hiervan. Voorbeelden van resultaten uit de algemene topologie zijn:

• Elk gesloten interval in Rⁿ van eindige lengte is compact. Een verzameling is dan en slechts dan compact als deze verzameling gesloten en begrensd is (Zie de stelling van Heine-Borel).
• Elk beeld van een compacte ruimte onder een continue afbeelding is compact.
• Een compacte deelruimte van een Hausdorff-ruimte is compact.
• Elke rij punten in een compacte metrische ruimte heeft een convergente deelrij.
• Elk interval in R is samenhangend.
• Het beeld van een samenhangende ruimte onder een continue afbeelding is samenhangend.
• Op een tennisbal is er altijd minstens één kruin. Of equivalent: er is altijd minstens één plek op aarde waar het windstil is.
• Elke continue bijectie van een compacte ruimte naar een Hausdorff-ruimte is noodzakelijkerwijs een homeomorfisme.
• Elke compacte m-variëteit kan worden ingebed in enige Euclidsiche ruimte Rⁿ.
• Een metrische ruimte is Hausdorff-ruimte, maar ook normaal en paracompact.
• De metriseerbaarheidstellingen zijn een noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een topologie om metrisch te zijn.
• Enige open deelruimte van een Baire-ruimte is zelf ook een Baire-ruimte.
• Elke samenhangende, lokaal samenhangende en semi-lokaal simpele samenhangende ruimte heeft een universele dekking.

Ruimtelijke informatie

Binnen Geografische informatiesystemen wordt topologie als begrip gebruikt voor de ruimtelijke relaties tussen elementen of objecten (bijvoorbeeld punten, lijnen en polygonen). Hierbij wordt niet specifiek gerefereerd aan x- en y-coördinaten.

  Vrije mediabestanden over Topology op Wikimedia Commons

Wiskunde