Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
rel=nofollow

Kwantummechanica: verschil tussen versies

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
kGeen bewerkingssamenvatting
 
(38 tussenliggende versies door dezelfde gebruiker niet weergegeven)
Regel 1: Regel 1:
'''Quantummechanica''' is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is.  
'''Quantummechanica''' (Latijn: quantum)<ref>Officiële spelling kwantummechanica, Engels quantum mechanics, Duits Quantenmechanik, Frans mécanique quantique.</ref> is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. Kenmerkend is de quantisering van de energie van het systeem: alleen discrete waarden (quanta) zijn mogelijk.


De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, ''Principles of Modern Physics'' McGRAW-HILL, 1959
De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, ''Principles of Modern Physics'' McGRAW-HILL, 1959
Regel 25: Regel 25:
: φ(p<sub>j</sub>,t) = h<sup>-N/2</sup><big>∫</big> ψ(q<sub>j</sub>,t) exp(-i{{overunderset|∑|N|1}}2πp<sub>j</sub>q<sub>j</sub>/h) d<sup>N</sup>q
: φ(p<sub>j</sub>,t) = h<sup>-N/2</sup><big>∫</big> ψ(q<sub>j</sub>,t) exp(-i{{overunderset|∑|N|1}}2πp<sub>j</sub>q<sub>j</sub>/h) d<sup>N</sup>q
: ψ(q<sub>j</sub>,t) = h<sup>-N/2</sup><big>∫</big> φ(p<sub>j</sub>,t) exp(+i{{overunderset|∑|N|1}}2πp<sub>j</sub>q<sub>j</sub>/h) d<sup>N</sup>p
: ψ(q<sub>j</sub>,t) = h<sup>-N/2</sup><big>∫</big> φ(p<sub>j</sub>,t) exp(+i{{overunderset|∑|N|1}}2πp<sub>j</sub>q<sub>j</sub>/h) d<sup>N</sup>p
waarin h de Planck constante 6.626 × 10<sup>−34</sup> Js is. Dus φ is de ontbinding van ψ in componenten met golflengte λ = h/p in de positieruimte. Als φ een scherp gelokaliseerde functie is die alleen impulsen bevat in de buurt van een bepaalde waarde p, dan is ψ een lange golftrein met een golflengte h/p. En als ψ een scherp gepiekte verdeling is, dan beslaat de Fourier getransformeerde φ een breed golflengtegebied zodat de impulsen niet goed gedefinieerd zijn. Dit is de wiskundige formulering van Heisenbergs onzekerheidsprincipe.
waarin h de Planck constante 6,626 × 10<sup>−34</sup> Js is. Dus φ is de ontbinding van ψ in componenten met golflengte λ = h/p in de positieruimte. Als φ een scherp gelokaliseerde functie is die alleen impulsen bevat in de buurt van een bepaalde waarde p, dan is ψ een lange golftrein met een golflengte h/p. En als ψ een scherp gepiekte verdeling is, dan beslaat de Fourier getransformeerde φ een breed golflengtegebied zodat de impulsen niet goed gedefinieerd zijn. Dit is de wiskundige formulering van Heisenbergs onzekerheidsprincipe.


== Schrödinger vergelijking ==
== Schrödingervergelijking ==


In de klassieke mechanica zijn de bewegingsvergelijkingen
In de klassieke mechanica zijn de bewegingsvergelijkingen
: {{vbreuk|dq<sub>j</sub>|dt}} = {{vbreuk|∂H|∂p<sub>j</sub>}}, {{vbreuk|dp<sub>j</sub>|dt}} = {{vbreuk|∂H|∂q<sub>j</sub>}}
: {{vbreuk|dq<sub>j</sub>|dt}} = {{vbreuk|∂H|∂p<sub>j</sub>}}, {{vbreuk|dp<sub>j</sub>|dt}} = {{vbreuk|∂H|∂q<sub>j</sub>}}
waarin H(q<sub>j</sub>,p<sub>j</sub>) de hamiltonfunctie is. (William Hamilton, 1833)
waarin H(q<sub>j</sub>,p<sub>j</sub>,t) de hamiltonfunctie is (William Hamilton, 1833). Het is de energie E van het systeem. Er is energiebehoud als H niet van de tijd t afhangt.


p.103. De quantummechanisch bewegingsvergelijking is de Schrödinger vergelijking voor de golffunctie ψ
p.103. De quantummechanische bewegingsvergelijking is de schrödingervergelijking voor de golffunctie ψ (Erwin Schrödinger, 1926)
: H(q<sub>j</sub>,'''p'''<sub>j</sub>)ψ = - {{vbreuk|h|2πi}} {{vbreuk|∂ψ|∂t}}, '''p'''<sub>j</sub> = {{vbreuk|h|2πi}} {{vbreuk|∂|∂q<sub>j</sub>}}
: H(q<sub>j</sub>,'''p'''<sub>j</sub>,t)ψ = - {{vbreuk|h|2πi}} {{vbreuk|∂ψ|∂t}}, '''p'''<sub>j</sub> = {{vbreuk|h|2πi}} {{vbreuk|∂|∂q<sub>j</sub>}}
In de hamiltonfunctie is de impuls p<sub>j</sub> vervangen door de impulsoperator '''p'''<sub>j</sub>.
In de hamiltonfunctie is de impuls p<sub>j</sub> vervangen door de impulsoperator '''p'''<sub>j</sub>. Voor 1 deeltje is de impulsoperator (h/2πi)∇ waarin ∇ de nabla differentiaaloperator is.


p.112. Als H niet van de tijd afhangt is de schrödingervergelijking
: H(q<sub>j</sub>,'''p'''<sub>j</sub>)ψ = Eψ
Deze tijdonafkelijke vergelijking wordt gebruikt om energiewaarden te vinden van een quantumsysteem in stationaire toestand.


=== Harmonische oscilllator ===
De hamiltonfunctie van een oscillerende massa m met terugwerkende kracht -kx is
: H = {{vbreuk|p²|2m}} + {{vbreuk|1|2}}kx²
Klassiek is de oscillatiefrequentie ω² = k/m en de energie kan elke waarde hebben.


''Wordt vervolgd''
p.129. Quantummechanisch is de schrödingervergelijking
: - {{vbreuk|h²|8π²m}} {{vbreuk|∂²ψ|∂x²}} + {{vbreuk|1|2}}kx²ψ = Eψ
p.133. Eenwaardige eindige oplossingen zijn alleen mogelijk voor discrete waarden van E
: E<sub>n</sub> = hν(n+½), ν = ω/2π,  n = 0,1,2,...
: ψ<sub>n</sub>(x) = (2<sup>n</sup>n!)<sup>-½</sup> (2mω / h)<sup>¼</sup> e<sup>-πmωx² / h</sup> Her<sub>n</sub>(x(2πmω / h)<sup>½</sup>)
Her<sub>n</sub> zijn Hermite polynomen
: Her<sub>n</sub>(z) = (-1)<sup>n</sup> e<sup>z²</sup> {{vbreuk|<small>d<sup>n</sup></small>|<sub>dz<sup>n</sup></sub>}} e<sup>-z²</sup>
 
In de grondtoestand is ψ<sub>0</sub>(x) = (2mω / h)<sup>¼</sup>e<sup>-πmωx² / h</sup>.
De energie E<sub>0</sub> = ½hν is niet nul. Positie en impuls zijn niet nul, in overeenstemming met Heisenberg.
 
=== Waterstofatoom ===
Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie verder [[Waterstofatoom]].
 
=== Tunneleffect ===
De tijd-onafhankelijke schrödingervergelijking van een deeltje met massa m en energie E in een potentiaal V(x) is
: - {{vbreuk|h²|4π²m}} {{vbreuk|d²ψ|dx²}} + Vψ = Eψ
p.155. Van groot belang is de oplossing als V een potentiaalbarrière is
: V(x) = V<sub>0</sub> als |x|<a en 0 als |x|>a
Klassiek mechanisch wordt een van x<-a komend deeltje gereflecteerd door de barrière als E<V<sub>0</sub> is, maar quantummechanisch is er een kans dat het door de barrière heen komt. De wiskundige behandeling is gecompliceerd. Zie verder [[Tunneleffect (natuurkunde)]].
 
{{Appendix}}
[[Categorie:Natuurkunde]]
[[Categorie:Kwantummechanica]]

Huidige versie van 9 mei 2023 om 18:46

Quantummechanica (Latijn: quantum)[1] is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. Kenmerkend is de quantisering van de energie van het systeem: alleen discrete waarden (quanta) zijn mogelijk.

De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, Principles of Modern Physics McGRAW-HILL, 1959

Quantumtoestand

p.86. Meting van de positie verstoort een (sub)atomair deeltje zodanig dat de impuls niet meer goed meetbaar is, en impuls meting stoort de positie (Werner Heisenberg 1927). Daarom kan de toestand van een (sub)atomair systeem niet precies gemeten en weergegeven worden zoals bij een klassiek systeem, nl door een punt in de faseruimte met de posities qj en impulsen pj van alle deeltjes als coordinaten.

p.93-94. Preciese positie meting van de deeltjes kan wel maar maakt impuls meting erg onnauwkeurig, en omgekeerd. De quantumtoestand van een systeem van N deeltjes wordt beschreven door twee complexe golffuncties ψ(qj,t) en φ(pj,t) die de toestand van het systeem als volgt definiëren.

Als ten tijde t de posities qj gemeten worden dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal dNq = dq1 ... dqN liggen

Wq(qj,t) = ψ*(qj,t)ψ(qj,t) = |ψ(qj,t)|²

ψ* is de complex geconjugeerde en |ψ| de absiolute waarde van ψ. Voor 1 deeltje is dq1 het volume element dV in de gewone ruimte.

Als gelijktijdig de impulsen worden gemeten, dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal dNp = dp1 ... dpN liggen

Wp(pj,t) = φ*(pj,t)φ(pj,t) = |φ(pj,t)|²

De totale geïntegreerde kansen

Wq(qj,t)dNq = 1 en Wp(pj,t)dNp = 1

met integratie over alle qj of alle pj.

p.96. De golffuncties ψ(qj,t) en φ(pj,t) zijn Fourier invers:

φ(pj,t) = h-N/2 ψ(qj,t) exp(-iN12πpjqj/h) dNq
ψ(qj,t) = h-N/2 φ(pj,t) exp(+iN12πpjqj/h) dNp

waarin h de Planck constante 6,626 × 10−34 Js is. Dus φ is de ontbinding van ψ in componenten met golflengte λ = h/p in de positieruimte. Als φ een scherp gelokaliseerde functie is die alleen impulsen bevat in de buurt van een bepaalde waarde p, dan is ψ een lange golftrein met een golflengte h/p. En als ψ een scherp gepiekte verdeling is, dan beslaat de Fourier getransformeerde φ een breed golflengtegebied zodat de impulsen niet goed gedefinieerd zijn. Dit is de wiskundige formulering van Heisenbergs onzekerheidsprincipe.

Schrödingervergelijking

In de klassieke mechanica zijn de bewegingsvergelijkingen

 dqj /dt =  ∂H /∂pj,  dpj /dt =  ∂H /∂qj

waarin H(qj,pj,t) de hamiltonfunctie is (William Hamilton, 1833). Het is de energie E van het systeem. Er is energiebehoud als H niet van de tijd t afhangt.

p.103. De quantummechanische bewegingsvergelijking is de schrödingervergelijking voor de golffunctie ψ (Erwin Schrödinger, 1926)

H(qj,pj,t)ψ = -  h /2πi  ∂ψ /∂t, pj =  h /2πi  ∂ /∂qj

In de hamiltonfunctie is de impuls pj vervangen door de impulsoperator pj. Voor 1 deeltje is de impulsoperator (h/2πi)∇ waarin ∇ de nabla differentiaaloperator is.

p.112. Als H niet van de tijd afhangt is de schrödingervergelijking

H(qj,pj)ψ = Eψ

Deze tijdonafkelijke vergelijking wordt gebruikt om energiewaarden te vinden van een quantumsysteem in stationaire toestand.

Harmonische oscilllator

De hamiltonfunctie van een oscillerende massa m met terugwerkende kracht -kx is

H =  p² /2m +  1 /2kx²

Klassiek is de oscillatiefrequentie ω² = k/m en de energie kan elke waarde hebben.

p.129. Quantummechanisch is de schrödingervergelijking

-  h² /8π²m  ∂²ψ /∂x² +  1 /2kx²ψ = Eψ

p.133. Eenwaardige eindige oplossingen zijn alleen mogelijk voor discrete waarden van E

En = hν(n+½), ν = ω/2π, n = 0,1,2,...
ψn(x) = (2nn!) (2mω / h)¼ e-πmωx² / h Hern(x(2πmω / h)½)

Hern zijn Hermite polynomen

Hern(z) = (-1)n e  dn /dzn e-z²

In de grondtoestand is ψ0(x) = (2mω / h)¼e-πmωx² / h. De energie E0 = ½hν is niet nul. Positie en impuls zijn niet nul, in overeenstemming met Heisenberg.

Waterstofatoom

Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie verder Waterstofatoom.

Tunneleffect

De tijd-onafhankelijke schrödingervergelijking van een deeltje met massa m en energie E in een potentiaal V(x) is

-  h² /4π²m  d²ψ /dx² + Vψ = Eψ

p.155. Van groot belang is de oplossing als V een potentiaalbarrière is

V(x) = V0 als |x|<a en 0 als |x|>a

Klassiek mechanisch wordt een van x<-a komend deeltje gereflecteerd door de barrière als E<V0 is, maar quantummechanisch is er een kans dat het door de barrière heen komt. De wiskundige behandeling is gecompliceerd. Zie verder Tunneleffect (natuurkunde).

Bronnen, noten en/of referenties

Bronnen, noten en/of referenties
  1. º Officiële spelling kwantummechanica, Engels quantum mechanics, Duits Quantenmechanik, Frans mécanique quantique.
rel=nofollow
rel=nofollow