Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor versnelde beweging in een zwaartekrachtveld. Hij gebruikte daarbij een wiskundig model ruimtetijd dat de drie dimensies van ruimte en de ene dimensie van tijd samenvoegt tot een vierdimensionaal coordinatenstelsel. Dit model had Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - geïntroduceerd in 1908.

De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, dat wil zeggen dat volgens Einsteins relativiteitstheorie verschillende waarnemers het oneens zijn over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie).

In ruimtetijd wordt een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.

c²Δs² =Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)

Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c. Zie speciale relativiteitstheorie voor berekeningen.

De volgende beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.

§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met een zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld word.

§82. De coordinaten ct,x,y,z worden genoteerd als x₀,x₁,x₂,x₃. Bij coordinatentransformatie naar een versneld systeem heeft een interval in het algemeen de vorm

Δs² = g_ikΔx_iΔx_k

waarbij gesommeerd wordt over herhaalde indices i en k. De "tensor" g_ik bevat functies van de coordinaten x_i en bepaalt de ruimtetijd metriek. Bij constant snelheidsverschil tussen waarnemers, is

g₀₀=1, g₁₁=g₂₂=g₃₃= -1, g_ik=0 voor i≠k.

§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g_ik onafhankelijk van de tijd x₀ en g₀₁=g₀₂=g₀₃=0.

§95. Einstein leidde met tensoranalyse partiële differentiaalvergelijkingen af die een meer precieze beschrijving van zwaartekracht geven dan de theorie van Newton. Deze analyse wordt hier niet beschreven.

§100. De zwaartekracht rond een massa m wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten r,θ,φ

Δs² = (1-r_g/r)c²Δt² - r²(sin²θ Δφ²+Δθ²) - Δr²/(1-r_g/r)

waarin r_g=2Gm/c² en G=6,674 x 10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹, de Newtonse gravitatie constante. Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen.

§102. In de Schwarzschild metriek gaat g₀₀ naar nul en g₁₁ naar oneindig als r=r_g. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan zijn en implodeert tot een zwart gat.