Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor versnelde beweging in een zwaartekrachtveld. Hij gebruikte daarbij een wiskundig model ruimtetijd dat de drie dimensies van ruimte en de ene dimensie van tijd samenvoegt tot een vierdimensionaal coordinatenstelsel. Dit model had Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - geïntroduceerd in 1908.

De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, dat wil zeggen dat volgens Einsteins relativiteitstheorie verschillende waarnemers het oneens zijn over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.

c²Δs² =Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)

Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c. Zie speciale relativiteitstheorie voor berekeningen.

De volgende beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.

§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld word.

Metrische tensor

§82. De coordinaten ct,x,y,z worden genoteerd als x₀,x₁,x₂,x₃. Bij coordinatentransformatie naar een versneld systeem is een interval in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en heeft dan de vorm

ds² = g_ikdx_idx_k

waarbij gesommeerd wordt over herhaalde indices i en k van 0 tot 3. Dus

ds¹ = g₀₀dx₀dx₀+g₀₁dx₀dx₁+g₀₂dx₀dx₂+g₀₃dx₀dx₃+g₁₀dx₁dx₀+g₁₁dx₁dx₁+ ... g₃₃dx₃dx₃

De matrix elementen g_ik zijn functies van de coordinaten x_i en bepalen de ruimtetijd metriek. Deze matrix heet de metrische tensor.

Bij constant snelheidsverschil tussen waarnemers, is

Δs² = g_ikΔx_iΔx_k met g₀₀=1, g₁₁=g₂₂=g₃₃= -1, g_ik=0 voor i≠k.

§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g_ik onafhankelijk van de tijd x₀ en g₀₁=g₀₂=g₀₃=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte.

τ = (x₀/c)√g₀₀

De snelheid van een massa (bijv een kogel) in dit systeem is, gemeten in eigentijd,

v = dl/dτ met dl² = -g_αβdx_αdx_β gesommeerd over α en β van 1 tot 3.

De energie van de massa is behouden:

E = 𝛾mc²√g₀₀ met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Einstein vergelijkingen

§95. Einstein leidde met tensoranalyse partiële differentiaalvergelijkingen af die een meer precieze beschrijving van zwaartekracht geven dan de theorie van Newton. De Einstein vergelijkingen bepalen de ruimtekromming Ricci tensor R_ik als functie van de energie-impuls tensor T_ik

R_ik = (8πG/c⁴)(T_ik - g_ikT/2)

G=6,674 x 10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹ is de Newtonse gravitatie constante.

R_ik = (∂Γ^l_ik/∂x_l - ∂Γ^l_il/∂x_k + Γ^l_ikΓ^m_lm - Γ^m_ilΓ^l_km (§92)

De Christoffel symbolen zijn afgeleiden van de metrische tensor (§86).

Γⁱ_kl = (g^im/2)(∂g_mk/∂x_l + ∂g_ml/∂x_k - ∂g_kl/∂x_m)

De matrix g^im is de inverse van g_im dwz g_ikg^kl = δ^lig_im de eenheidsmatrix.

De energie-impuls tensor T_ik beschrijft de massa verdeling die de ruimtekromming veroorzaken (§35).

Schwarzschild oplossing

§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ

Δs² = (1-r_g/r)c²Δt² - r²(sin²θ Δφ²+Δθ²) - Δr²/(1-r_g/r)

waarin r_g=2GM/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in lege ruimte waar R_ik=0.

§102. In de Schwarzschild metriek gaat g₀₀ naar nul en g₁₁ naar oneindig als r=r_g. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan zijn en implodeert tot een zwart gat.