Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Kwantummechanica: verschil tussen versies
kGeen bewerkingssamenvatting |
|||
(11 tussenliggende versies door dezelfde gebruiker niet weergegeven) | |||
Regel 1: | Regel 1: | ||
'''Quantummechanica''' is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. | '''Quantummechanica''' (Latijn: quantum)<ref>Officiële spelling kwantummechanica, Engels quantum mechanics, Duits Quantenmechanik, Frans mécanique quantique.</ref> is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. Kenmerkend is de quantisering van de energie van het systeem: alleen discrete waarden (quanta) zijn mogelijk. | ||
De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, ''Principles of Modern Physics'' McGRAW-HILL, 1959 | De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, ''Principles of Modern Physics'' McGRAW-HILL, 1959 | ||
Regel 58: | Regel 58: | ||
=== Waterstofatoom === | === Waterstofatoom === | ||
Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie [[Waterstofatoom]]. | Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie verder [[Waterstofatoom]]. | ||
=== Tunneleffect === | |||
De tijd-onafhankelijke schrödingervergelijking van een deeltje met massa m en energie E in een potentiaal V(x) is | |||
: - {{vbreuk|h²|4π²m}} {{vbreuk|d²ψ|dx²}} + Vψ = Eψ | |||
p.155. Van groot belang is de oplossing als V een potentiaalbarrière is | |||
: V(x) = V<sub>0</sub> als |x|<a en 0 als |x|>a | |||
Klassiek mechanisch wordt een van x<-a komend deeltje gereflecteerd door de barrière als E<V<sub>0</sub> is, maar quantummechanisch is er een kans dat het door de barrière heen komt. De wiskundige behandeling is gecompliceerd. Zie verder [[Tunneleffect (natuurkunde)]]. | |||
{{Appendix}} | |||
[[Categorie:Natuurkunde]] | |||
[[Categorie:Kwantummechanica]] |
Huidige versie van 9 mei 2023 om 18:46
Quantummechanica (Latijn: quantum)[1] is mechanica (bewegingsleer) van uiterst kleine, atomaire en subatomaire, systemen waarvoor de klassieke Newtonse mechanica niet geldig is. Kenmerkend is de quantisering van de energie van het systeem: alleen discrete waarden (quanta) zijn mogelijk.
De paginanummers verwijzen naar Robert B Leighton, Principles of Modern Physics McGRAW-HILL, 1959
Quantumtoestand
p.86. Meting van de positie verstoort een (sub)atomair deeltje zodanig dat de impuls niet meer goed meetbaar is, en impuls meting stoort de positie (Werner Heisenberg 1927). Daarom kan de toestand van een (sub)atomair systeem niet precies gemeten en weergegeven worden zoals bij een klassiek systeem, nl door een punt in de faseruimte met de posities qj en impulsen pj van alle deeltjes als coordinaten.
p.93-94. Preciese positie meting van de deeltjes kan wel maar maakt impuls meting erg onnauwkeurig, en omgekeerd. De quantumtoestand van een systeem van N deeltjes wordt beschreven door twee complexe golffuncties ψ(qj,t) en φ(pj,t) die de toestand van het systeem als volgt definiëren.
Als ten tijde t de posities qj gemeten worden dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal dNq = dq1 ... dqN liggen
- Wq(qj,t) = ψ*(qj,t)ψ(qj,t) = |ψ(qj,t)|²
ψ* is de complex geconjugeerde en |ψ| de absiolute waarde van ψ. Voor 1 deeltje is dq1 het volume element dV in de gewone ruimte.
Als gelijktijdig de impulsen worden gemeten, dan is de kansdichtheid dat deze in de differentiaal dNp = dp1 ... dpN liggen
- Wp(pj,t) = φ*(pj,t)φ(pj,t) = |φ(pj,t)|²
De totale geïntegreerde kansen
- ∫ Wq(qj,t)dNq = 1 en ∫ Wp(pj,t)dNp = 1
met integratie over alle qj of alle pj.
p.96. De golffuncties ψ(qj,t) en φ(pj,t) zijn Fourier invers:
- φ(pj,t) = h-N/2∫ ψ(qj,t) exp(-i2πpjqj/h) dNq
- ψ(qj,t) = h-N/2∫ φ(pj,t) exp(+i2πpjqj/h) dNp
waarin h de Planck constante 6,626 × 10−34 Js is. Dus φ is de ontbinding van ψ in componenten met golflengte λ = h/p in de positieruimte. Als φ een scherp gelokaliseerde functie is die alleen impulsen bevat in de buurt van een bepaalde waarde p, dan is ψ een lange golftrein met een golflengte h/p. En als ψ een scherp gepiekte verdeling is, dan beslaat de Fourier getransformeerde φ een breed golflengtegebied zodat de impulsen niet goed gedefinieerd zijn. Dit is de wiskundige formulering van Heisenbergs onzekerheidsprincipe.
Schrödingervergelijking
In de klassieke mechanica zijn de bewegingsvergelijkingen
- dqj dt = ∂H ∂pj, dpj dt = ∂H ∂qj
waarin H(qj,pj,t) de hamiltonfunctie is (William Hamilton, 1833). Het is de energie E van het systeem. Er is energiebehoud als H niet van de tijd t afhangt.
p.103. De quantummechanische bewegingsvergelijking is de schrödingervergelijking voor de golffunctie ψ (Erwin Schrödinger, 1926)
- H(qj,pj,t)ψ = - h 2πi ∂ψ ∂t, pj = h 2πi ∂ ∂qj
In de hamiltonfunctie is de impuls pj vervangen door de impulsoperator pj. Voor 1 deeltje is de impulsoperator (h/2πi)∇ waarin ∇ de nabla differentiaaloperator is.
p.112. Als H niet van de tijd afhangt is de schrödingervergelijking
- H(qj,pj)ψ = Eψ
Deze tijdonafkelijke vergelijking wordt gebruikt om energiewaarden te vinden van een quantumsysteem in stationaire toestand.
Harmonische oscilllator
De hamiltonfunctie van een oscillerende massa m met terugwerkende kracht -kx is
- H = p² 2m + 1 2kx²
Klassiek is de oscillatiefrequentie ω² = k/m en de energie kan elke waarde hebben.
p.129. Quantummechanisch is de schrödingervergelijking
- - h² 8π²m ∂²ψ ∂x² + 1 2kx²ψ = Eψ
p.133. Eenwaardige eindige oplossingen zijn alleen mogelijk voor discrete waarden van E
- En = hν(n+½), ν = ω/2π, n = 0,1,2,...
- ψn(x) = (2nn!)-½ (2mω / h)¼ e-πmωx² / h Hern(x(2πmω / h)½)
Hern zijn Hermite polynomen
- Hern(z) = (-1)n ez² dn dzn e-z²
In de grondtoestand is ψ0(x) = (2mω / h)¼e-πmωx² / h. De energie E0 = ½hν is niet nul. Positie en impuls zijn niet nul, in overeenstemming met Heisenberg.
Waterstofatoom
Van de schrödingervergelijking van een atoom met een enkel elektron zijn eenwaardige eindige oplossingen bekend voor discrete waarden van de energie. Zie verder Waterstofatoom.
Tunneleffect
De tijd-onafhankelijke schrödingervergelijking van een deeltje met massa m en energie E in een potentiaal V(x) is
- - h² 4π²m d²ψ dx² + Vψ = Eψ
p.155. Van groot belang is de oplossing als V een potentiaalbarrière is
- V(x) = V0 als |x|<a en 0 als |x|>a
Klassiek mechanisch wordt een van x<-a komend deeltje gereflecteerd door de barrière als E<V0 is, maar quantummechanisch is er een kans dat het door de barrière heen komt. De wiskundige behandeling is gecompliceerd. Zie verder Tunneleffect (natuurkunde).
Bronnen, noten en/of referenties
|